Номер 35.19, страница 289 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 35. Основные правила комбинаторики. Перестановки - номер 35.19, страница 289.

Условие.

35.19. В книжном магазине есть 4 разных издания романа «Евгений Онегин», 3 разных издания повести «Капитанская дочка» и 2 разных издания поэмы «Полтава». Кроме того, есть 5 разных книг, в которых содержатся роман «Евгений Онегин» и повесть «Капитанская дочка», и 6 разных книг, в которых содержатся повесть «Капитанская дочка» и поэма «Полтава». Сколькими способами можно сделать покупку, которая содержала бы по одному экземпляру каждого из этих произведений?

Решение.

Для того чтобы найти общее количество способов совершить покупку, необходимо рассмотреть все возможные комбинации приобретаемых книг, которые в совокупности будут содержать по одному экземпляру каждого из трех произведений: роман «Евгений Онегин», повесть «Капитанская дочка» и поэма «Полтава».

Решение можно разбить на несколько взаимоисключающих случаев, в зависимости от количества и типа приобретаемых книг.

1. Покупка трех отдельных книг

В этом случае мы покупаем три разные книги, каждая из которых содержит одно из требуемых произведений:

• Выбираем одно из 4 изданий романа «Евгений Онегин».
• Выбираем одно из 3 изданий повести «Капитанская дочка».
• Выбираем одно из 2 изданий поэмы «Полтава».

Согласно комбинаторному правилу умножения, общее число способов для этого случая равно произведению числа вариантов для каждого выбора:

$N_1 = 4 \times 3 \times 2 = 24$ способа.

2. Покупка двух книг

В этом случае мы приобретаем два издания, одно из которых или оба являются сборниками. Существует три возможных варианта:

• Сборник «Евгений Онегин» и «Капитанская дочка» + отдельное издание «Полтавы»

  Выбираем одну из 5 книг, содержащих оба произведения (роман и повесть), и одно из 2 изданий поэмы. Количество способов:

  $5 \times 2 = 10$ способов.

• Отдельное издание «Евгения Онегина» + сборник «Капитанская дочка» и «Полтава»

  Выбираем одно из 4 изданий романа и одну из 6 книг, содержащих повесть и поэму. Количество способов:

  $4 \times 6 = 24$ способа.

• Сборник «Евгений Онегин» и «Капитанская дочка» + сборник «Капитанская дочка» и «Полтава»

  Выбираем одну из 5 книг, содержащих роман и повесть, и одну из 6 книг, содержащих повесть и поэму. Такая покупка также удовлетворяет условию, так как в результате мы получаем все три произведения.

  Количество способов:

  $5 \times 6 = 30$ способов.

Так как эти три варианта покупки двух книг взаимоисключающие, общее количество способов для этого случая равно их сумме:

$N_2 = 10 + 24 + 30 = 64$ способа.

3. Покупка одной книги

Этот случай был бы возможен, если бы существовала книга, содержащая все три произведения. Согласно условию задачи, таких книг в магазине нет. Поэтому количество способов в этом случае равно 0.

$N_3 = 0$ способов.

Общее количество способов

Поскольку все рассмотренные случаи (покупка трех, двух или одной книги) являются взаимоисключающими, общее количество способов сделать требуемую покупку равно сумме способов в каждом случае:

$N = N_1 + N_2 + N_3 = 24 + 64 + 0 = 88$ способов.

Ответ: 88