Номер 35.15, страница 289 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 35. Основные правила комбинаторики. Перестановки - номер 35.15, страница 289.

Условие.

35.15. Сколько существует пятизначных чисел, делящихся нацело на 5?

Решение.

Для того чтобы число делилось нацело на 5, его последняя цифра должна быть либо 0, либо 5.

Пятизначное число состоит из 5 цифр. Найдем количество возможных вариантов для каждой позиции в числе, используя комбинаторное правило умножения.

• Первая цифра: не может быть нулем, иначе число не будет пятизначным. Следовательно, на первом месте может стоять любая из 9 цифр (от 1 до 9).
• Вторая цифра: может быть любой из 10 цифр (от 0 до 9).
• Третья цифра: может быть любой из 10 цифр (от 0 до 9).
• Четвертая цифра: может быть любой из 10 цифр (от 0 до 9).
• Пятая цифра: согласно признаку делимости на 5, на этом месте может стоять только 0 или 5, то есть есть 2 варианта.

Чтобы найти общее количество таких чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции:

$N = 9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 2 = 9000 \times 2 = 18000$

Другой способ решения (через арифметическую прогрессию):

Все пятизначные числа, делящиеся на 5, образуют арифметическую прогрессию.

• Первый член этой прогрессии $a_1$ — это наименьшее пятизначное число, кратное 5, то есть 10000.
• Последний член прогрессии $a_n$ — это наибольшее пятизначное число, кратное 5, то есть 99995.
• Разность прогрессии $d$ равна 5.

Найдем количество членов $n$ в этой прогрессии по формуле n-го члена: $a_n = a_1 + (n - 1)d$.

Подставим наши значения:

$99995 = 10000 + (n - 1) \times 5$

$89995 = (n - 1) \times 5$

$n - 1 = \frac{89995}{5}$

$n - 1 = 17999$

$n = 17999 + 1 = 18000$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 18000