Номер 35.21, страница 289 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 35. Основные правила комбинаторики. Перестановки - номер 35.21, страница 289.

Условие.

35.21. Для шифрования сообщений используют цифры 0, 1, 2, 3. Слово в сообщении содержит от 1 до 5 цифр. Какое наибольшее количество различных слов может содержать сообщение?

Решение.

По условию задачи, для шифрования используются 4 цифры: 0, 1, 2, 3. Это означает, что мощность алфавита, из которого составляются слова, равна 4. Слово в сообщении может состоять из 1, 2, 3, 4 или 5 цифр. Чтобы найти наибольшее количество различных слов, необходимо вычислить, сколько уникальных слов можно составить для каждой возможной длины, а затем сложить эти значения.

Количество различных слов (размещений с повторениями) длиной $k$, которые можно составить из алфавита мощностью $n$, вычисляется по формуле $N = n^k$. В данном случае мощность алфавита $n=4$.

Вычислим количество слов для каждой возможной длины от 1 до 5:

• Количество слов длиной 1: $N_1 = 4^1 = 4$.
• Количество слов длиной 2: $N_2 = 4^2 = 16$.
• Количество слов длиной 3: $N_3 = 4^3 = 64$.
• Количество слов длиной 4: $N_4 = 4^4 = 256$.
• Количество слов длиной 5: $N_5 = 4^5 = 1024$.

Общее количество различных слов равно сумме количеств слов всех возможных длин:

$N_{общ} = N_1 + N_2 + N_3 + N_4 + N_5 = 4 + 16 + 64 + 256 + 1024 = 1364$.

Следовательно, наибольшее количество различных слов, которое может содержать сообщение, составляет 1364.
Ответ: 1364.