Номер 35.24, страница 290 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 35. Основные правила комбинаторики. Перестановки - номер 35.24, страница 290.

Условие.

35.24. Пять мальчиков и пять девочек садятся в ряд на 10 стульев.

Сколькими способами они могут расположиться так, чтобы мальчики сидели на стульях с чётными номерами, а девочки — на стульях с нечётными номерами?

Решение.

В данной задаче нам нужно найти количество способов рассадить 5 мальчиков и 5 девочек на 10 стульев с определенными условиями. Стулья пронумерованы от 1 до 10.

Условия расположения:

• Мальчики сидят на стульях с чётными номерами.
• Девочки сидят на стульях с нечётными номерами.

Сначала определим, какие номера стульев предназначены для каждой группы.

Стулья с чётными номерами: 2, 4, 6, 8, 10. Всего 5 стульев для 5 мальчиков.

Стулья с нечётными номерами: 1, 3, 5, 7, 9. Всего 5 стульев для 5 девочек.

Рассмотрим рассадку мальчиков. Есть 5 мальчиков и 5 предназначенных для них стульев. Количество способов, которыми можно рассадить 5 различных мальчиков на 5 различных стульев, равно числу перестановок из 5 элементов. Это вычисляется как факториал числа 5 ($5!$).

Количество способов рассадить мальчиков = $P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

Теперь рассмотрим рассадку девочек. Аналогично, есть 5 девочек и 5 предназначенных для них стульев. Количество способов, которыми можно рассадить 5 различных девочек на 5 различных стульев, также равно числу перестановок из 5 элементов ($5!$).

Количество способов рассадить девочек = $P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

Поскольку рассадка мальчиков и рассадка девочек — это независимые друг от друга события, общее количество способов их одновременного расположения можно найти, используя комбинаторное правило произведения. Для этого нужно перемножить количество способов рассадки мальчиков и количество способов рассадки девочек.

Общее количество способов = (Количество способов для мальчиков) $\times$ (Количество способов для девочек)

Общее количество способов = $5! \times 5! = 120 \times 120 = 14400$.

Ответ: 14400.