Номер 35.25, страница 290 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 35. Основные правила комбинаторики. Перестановки - номер 35.25, страница 290.

Условие.

35.25. Сколько существует пятизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна нечётная цифра?

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся методом от противного. Сначала найдём общее количество пятизначных чисел, а затем вычтем из него количество тех пятизначных чисел, которые не удовлетворяют условию, то есть состоят только из чётных цифр. Разность и будет искомым количеством чисел, в которых есть хотя бы одна нечётная цифра.

1. Найдём общее количество пятизначных чисел.
Первая цифра пятизначного числа может быть любой из цифр от 1 до 9 (9 вариантов).
Каждая из следующих четырёх цифр может быть любой из цифр от 0 до 9 (10 вариантов для каждой позиции).
Следовательно, общее количество пятизначных чисел равно:
$N_{общ} = 9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 9 \times 10^4 = 90000$.

2. Найдём количество пятизначных чисел, состоящих только из чётных цифр.
К чётным цифрам относятся 0, 2, 4, 6, 8 (всего 5 цифр).
Первая цифра пятизначного числа не может быть 0, поэтому для неё есть 4 варианта (2, 4, 6, 8).
Для каждой из оставшихся четырёх позиций можно выбрать любую из 5 чётных цифр.
Количество пятизначных чисел, состоящих только из чётных цифр, равно:
$N_{чётн} = 4 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 4 \times 5^4 = 4 \times 625 = 2500$.

3. Найдём количество пятизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна нечётная цифра.
Вычтем из общего количества пятизначных чисел количество чисел, состоящих только из чётных цифр:
$N = N_{общ} - N_{чётн} = 90000 - 2500 = 87500$.

Ответ: 87500