Номер 35.18, страница 289 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 35. Основные правила комбинаторики. Перестановки - номер 35.18, страница 289.

Условие.

35.18. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску две ладьи так, чтобы они не били друг друга?

Решение.

Для того чтобы две ладьи не били друг друга, они должны находиться в разных строках (горизонталях) и в разных столбцах (вертикалях) шахматной доски. Шахматная доска имеет размеры 8x8, то есть 8 строк и 8 столбцов, всего 64 клетки. Решим задачу двумя способами.

Способ 1

Этот способ основан на последовательном подсчете возможных позиций для каждой ладьи.

1. Сначала поставим на доску первую ладью. Поскольку доска пуста, мы можем выбрать любую из 64 клеток. Таким образом, есть 64 способа разместить первую ладью.

2. Теперь поставим вторую ладью. Чтобы она не била первую, ее нельзя ставить в ту же строку и в тот же столбец, где уже стоит первая ладья. Первая ладья занимает 1 строку (8 клеток) и 1 столбец (8 клеток). Так как клетка, на которой стоит ладья, входит и в строку, и в столбец, общее число "атакуемых" или занятых клеток равно $8 + 8 - 1 = 15$. Следовательно, для второй ладьи остается $64 - 15 = 49$ свободных и безопасных клеток.

3. Если бы ладьи были различимы (например, белая и черная), то общее число способов их расстановки было бы равно произведению числа вариантов для каждой: $64 \times 49 = 3136$.

4. Однако в задаче говорится просто о "двух ладьях", что обычно означает, что они неразличимы. В этом случае порядок их расстановки не важен. Пара клеток {A, B} является одной и той же расстановкой, независимо от того, какую ладью на какую клетку поставили. Поэтому полученное число нужно разделить на количество перестановок двух ладей, то есть на $2! = 2$.

Таким образом, итоговое количество способов равно:

$N = \frac{64 \times 49}{2} = 32 \times 49 = 1568$

Ответ: 1568

Способ 2

Этот способ использует комбинаторный подход, подсчитывая количество способов выбрать строки и столбцы для ладей.

1. Поскольку ладьи должны стоять в разных строках, нам нужно выбрать 2 различные строки из 8 имеющихся. Число способов сделать это равно числу сочетаний из 8 по 2:

   $C_8^2 = \binom{8}{2} = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2} = 28$

2. После того как мы выбрали две строки, нам нужно разместить в них по одной ладье так, чтобы они оказались в разных столбцах. Для ладьи в первой из выбранных строк мы можем выбрать любой из 8 столбцов. Для ладьи во второй строке остается 7 возможных столбцов (так как один столбец уже занят первой ладьей).

   Количество способов разместить ладьи в двух выбранных строках: $8 \times 7 = 56$.

3. Теперь найдем общее число способов, перемножив число способов выбора строк на число способов расстановки ладей в этих строках:

   $N = C_8^2 \times 8 \times 7 = 28 \times 56 = 1568$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 1568