Номер 35.13, страница 289 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 35. Основные правила комбинаторики. Перестановки - номер 35.13, страница 289.

Условие.

35.13. Сколько пятизначных чисел, все цифры которых должны быть различными, можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4?

Решение.

35.13.

Нам нужно найти количество пятизначных чисел, которые можно составить из цифр {0, 1, 2, 3, 4} при условии, что все цифры в числе должны быть различными.

Пятизначное число состоит из 5 цифр. Основное ограничение заключается в том, что первая цифра числа не может быть нулем.

Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Использование правила произведения

Рассмотрим каждую позицию в пятизначном числе:

• На место первой цифры (разряд десятков тысяч) можно поставить любую из 4 цифр {1, 2, 3, 4}. Цифру 0 использовать нельзя. Таким образом, есть 4 варианта.
• На место второй цифры (разряд тысяч) можно поставить любую из оставшихся 4 цифр. Например, если на первом месте стоит 1, то для второго места доступны {0, 2, 3, 4}. Таким образом, есть 4 варианта.
• На место третьей цифры (разряд сотен) можно поставить любую из оставшихся 3 цифр. Есть 3 варианта.
• На место четвертой цифры (разряд десятков) можно поставить любую из оставшихся 2 цифр. Есть 2 варианта.
• На место пятой цифры (разряд единиц) остаётся последняя, 1 цифра. Есть 1 вариант.

Общее количество возможных чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции:

$N_1 = 4 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 96$

Способ 2: Метод исключения

Сначала найдем общее число всех возможных перестановок из пяти данных цифр {0, 1, 2, 3, 4}. Это число равно факториалу 5.

$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

В это число входят последовательности, которые начинаются с нуля. Такие последовательности не являются пятизначными числами (например, 01234 — это четырехзначное число 1234). Найдем количество таких "неправильных" последовательностей.

Если на первом месте зафиксирован 0, то на оставшихся четырех местах нужно расставить оставшиеся четыре цифры {1, 2, 3, 4}. Количество таких перестановок равно факториалу 4.

$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

Теперь, чтобы найти количество именно пятизначных чисел, вычтем из общего числа перестановок число перестановок, начинающихся с нуля:

$N_2 = P_5 - P_4 = 120 - 24 = 96$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 96