Номер 35.20, страница 289 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 35. Основные правила комбинаторики. Перестановки - номер 35.20, страница 289.

Условие.

35.20. Сколько существует семизначных чисел, все цифры которых имеют одинаковую чётность?

Решение.

Для решения этой задачи необходимо рассмотреть два отдельных случая: когда все цифры числа являются чётными и когда все цифры являются нечётными. Общее количество таких чисел будет суммой чисел, найденных в каждом случае.

1. Случай, когда все цифры числа — чётные.

К чётным цифрам относятся {0, 2, 4, 6, 8} — всего 5 цифр. Семизначное число имеет 7 разрядов. Первая цифра семизначного числа не может быть нулём. Следовательно, на первую позицию можно выбрать любую из четырёх чётных цифр, кроме нуля: {2, 4, 6, 8}. Количество вариантов — 4. На каждую из следующих шести позиций (со второй по седьмую) можно поставить любую из пяти чётных цифр {0, 2, 4, 6, 8}. Количество вариантов для каждой из этих позиций — 5. Согласно комбинаторному правилу умножения, общее количество семизначных чисел, состоящих только из чётных цифр, равно:$N_{чёт} = 4 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 4 \times 5^6 = 4 \times 15625 = 62500$.

2. Случай, когда все цифры числа — нечётные.

К нечётным цифрам относятся {1, 3, 5, 7, 9} — всего 5 цифр. В этом случае на первую позицию можно поставить любую из пяти нечётных цифр, так как ни одна из них не является нулём. Количество вариантов — 5. На каждую из следующих шести позиций также можно поставить любую из пяти нечётных цифр. Общее количество семизначных чисел, состоящих только из нечётных цифр, равно:$N_{нечёт} = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^7 = 78125$.

Чтобы найти общее количество семизначных чисел, все цифры которых имеют одинаковую чётность, нужно сложить количества, полученные в обоих случаях:$N_{общ} = N_{чёт} + N_{нечёт} = 62500 + 78125 = 140625$.

Ответ: 140625