Номер 35.27, страница 290 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 35. Основные правила комбинаторики. Перестановки - номер 35.27, страница 290.

Условие.

35.27. Сколько существует пятизначных чисел, содержащих хотя бы две одинаковые цифры?

Решение.

Для решения этой задачи используется метод от противного (метод дополнения). Сначала мы найдем общее количество пятизначных чисел, а затем — количество пятизначных чисел, у которых все цифры различны. Разность между этими двумя значениями и будет искомым ответом.

1. Найдем общее количество пятизначных чисел.
Пятизначные числа — это целые числа в диапазоне от 10000 до 99999. Первая цифра пятизначного числа не может быть нулем, поэтому для нее существует 9 возможных вариантов (цифры от 1 до 9). Для каждой из следующих четырех позиций (второй, третьей, четвертой и пятой) существует 10 возможных вариантов (цифры от 0 до 9). Следовательно, общее количество пятизначных чисел, обозначим его $N_{общ}$, вычисляется по правилу произведения:$N_{общ} = 9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 9 \times 10^4 = 90000$.

2. Найдем количество пятизначных чисел, в которых все цифры различны.
Будем выбирать цифры для каждой позиции последовательно, исключая повторения:

• Для первой цифры есть 9 вариантов (любая цифра от 1 до 9).
• Для второй цифры также есть 9 вариантов (любая из 10 цифр, кроме той, которая уже использована на первой позиции).
• Для третьей цифры остается $10 - 2 = 8$ вариантов (любая, кроме двух уже использованных).
• Для четвертой цифры остается $10 - 3 = 7$ вариантов.
• Для пятой цифры остается $10 - 4 = 6$ вариантов.

По правилу произведения, количество пятизначных чисел со всеми различными цифрами, обозначим его $N_{разл}$, равно:$N_{разл} = 9 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 27216$.

3. Найдем количество пятизначных чисел, содержащих хотя бы две одинаковые цифры.
Это количество, обозначим его $N$, равно разности между общим количеством пятизначных чисел и количеством пятизначных чисел, в которых все цифры различны:$N = N_{общ} - N_{разл} = 90000 - 27216 = 62784$.

Ответ: 62784