Номер 35.34, страница 290 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 35. Основные правила комбинаторики. Перестановки - номер 35.34, страница 290.

Условие.

35.34. Найдите все простые числа $p$ такие, что числа $p + 14$ и $p + 40$ также являются простыми.

Решение.

Пусть $p$ — искомое простое число. По условию, числа $p$, $p + 14$ и $p + 40$ должны быть простыми.

Рассмотрим остатки этих трёх чисел при делении на 3.

Любое простое число $p$, кроме 3, не делится на 3. Следовательно, остаток от деления $p$ на 3 может быть либо 1, либо 2.

1. Проверим $p = 3$.
Если $p=3$, то:
$p + 14 = 3 + 14 = 17$ (простое число).
$p + 40 = 3 + 40 = 43$ (простое число).
Так как 3, 17 и 43 являются простыми числами, то $p = 3$ является решением.

2. Рассмотрим простые числа $p > 3$.
Проанализируем остатки чисел $p$, $p+14$ и $p+40$ при делении на 3.
$p \equiv p \pmod{3}$
$p+14 \equiv p + (12+2) \equiv p+2 \pmod{3}$
$p+40 \equiv p + (39+1) \equiv p+1 \pmod{3}$
Остатки этих трёх чисел при делении на 3 соответствуют остаткам чисел $p, p+1, p+2$. Это три последовательных целых числа, поэтому одно из них обязательно делится на 3. Следовательно, одно из чисел $p$, $p+14$ или $p+40$ должно быть кратно 3.

Поскольку по условию все три числа должны быть простыми, а единственное простое число, делящееся на 3, — это само число 3, то одно из наших чисел должно быть равно 3.

- Если $p = 3$, мы уже выяснили, что это решение.

- Если $p + 14 = 3$, то $p = 3 - 14 = -11$. Это не натуральное число, а простые числа — натуральные.

- Если $p + 40 = 3$, то $p = 3 - 40 = -37$. Это также не является простым числом.

Таким образом, единственное простое число $p$, которое удовлетворяет условиям задачи, это $p=3$.

Ответ: 3.