Номер 36.6, страница 293 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 36. Размещения - номер 36.6, страница 293.

Условие.

36.6. Через железнодорожную станцию должны одновременно пройти три поезда. Сколькими способами диспетчер может организовать прохождение составов, если в его распоряжении пять свободных путей?

Решение.

В этой задаче требуется найти количество способов распределить 3 поезда по 5 свободным путям. Поскольку все поезда различны и все пути тоже различны, порядок распределения имеет значение. Например, если первый поезд направлен на путь №1, а второй — на путь №2, это будет один способ, а если наоборот (первый поезд на путь №2, а второй на путь №1) — это уже другой способ. Такие комбинации в комбинаторике называются размещениями.

Для нахождения числа размещений из $n$ элементов по $k$ используется формула:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В данном случае у нас есть $n=5$ свободных путей, из которых нужно выбрать $k=3$ пути для трех поездов.

Подставим значения в формулу:

$A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 5 \times 4 \times 3 = 60$

Также можно рассуждать последовательно, используя правило умножения. Для первого поезда есть 5 вариантов выбора пути. После того как первый поезд займет один из путей, для второго поезда останется 4 свободных пути. Для третьего поезда останется 3 свободных пути. Общее количество способов будет равно произведению этих вариантов:

$5 \times 4 \times 3 = 60$

Таким образом, существует 60 различных способов организовать прохождение трех поездов через станцию.

Ответ: 60