Номер 36.12, страница 293 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 36. Размещения - номер 36.12, страница 293.

Условие.

36.12. Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, чтобы цифры не повторялись и крайние цифры были чётными?

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся методами комбинаторики. Нам нужно составить шестизначное число из цифр {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} с двумя условиями: цифры не повторяются, и первая и последняя цифры — чётные.

1. Выбор крайних (первой и последней) цифр.

Среди предложенных цифр {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} чётными являются {2, 4, 6}. Всего 3 чётные цифры.

Первая цифра шестизначного числа должна быть чётной, значит, у нас есть 3 варианта для её выбора.

Последняя цифра также должна быть чётной, и при этом не должна повторяться с первой. Поэтому, после выбора первой чётной цифры, для последней остаётся $3 - 1 = 2$ варианта.

Количество способов выбрать и расставить цифры на первой и последней позициях равно числу размещений из 3 элементов по 2:

$A_3^2 = \frac{3!}{(3-2)!} = 3 \times 2 = 6$ способов.

2. Выбор средних четырёх цифр.

Всего у нас 7 цифр. Две из них (чётные) мы уже использовали для крайних позиций. Осталось $7 - 2 = 5$ цифр.

Нам нужно заполнить оставшиеся 4 позиции в середине числа (вторую, третью, четвертую и пятую) этими 5-ю оставшимися цифрами. Порядок цифр важен, и они не могут повторяться.

Количество способов выбрать 4 цифры из 5 оставшихся и расставить их по 4 позициям равно числу размещений из 5 элементов по 4:

$A_5^4 = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{5!}{1!} = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$ способов.

3. Общее количество чисел.

Чтобы найти общее количество возможных шестизначных чисел, нужно перемножить количество способов для крайних позиций и количество способов для средних позиций (по правилу произведения).

Общее количество чисел $N = A_3^2 \times A_5^4 = 6 \times 120 = 720$.

Ответ: 720.