Номер 36.16, страница 294 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 36. Размещения - номер 36.16, страница 294.

Условие.

36.16. Найдите область определения функции $y = \sqrt{12 + 4x - x^2} - \frac{x - 5}{x^2 + 3x}$.

Решение.

Область определения функции $y = \sqrt{12 + 4x - x^2} - \frac{x-5}{x^2+3x}$ находится из системы двух условий, которые должны выполняться одновременно:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $12 + 4x - x^2 \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2 + 3x \neq 0$.

Рассмотрим каждое условие по отдельности.

1. Решим неравенство $12 + 4x - x^2 \ge 0$.
Умножим обе части неравенства на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный, чтобы получить стандартный вид:
$x^2 - 4x - 12 \le 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4x - 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно -12. Корнями являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 6$.
Так как графиком функции $f(x) = x^2 - 4x - 12$ является парабола с ветвями, направленными вверх, то неравенство $f(x) \le 0$ выполняется на отрезке между корнями (включая концы отрезка).
Следовательно, решение первого неравенства: $x \in [-2, 6]$.

2. Решим условие $x^2 + 3x \neq 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x+3) \neq 0$.
Произведение не равно нулю, если каждый из множителей не равен нулю. Таким образом, получаем:
$x \neq 0$ и $x+3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$.

3. Теперь найдем пересечение полученных решений.
Область определения функции — это все значения $x$ из отрезка $[-2, 6]$, которые не равны $0$ и $-3$.
Число $-3$ не принадлежит отрезку $[-2, 6]$, поэтому это ограничение не влияет на результат.
Число $0$ принадлежит отрезку $[-2, 6]$, поэтому его необходимо исключить.
Исключая точку $x=0$ из отрезка $[-2, 6]$, получаем объединение двух промежутков: $[-2, 0) \cup (0, 6]$.

Ответ: $[-2, 0) \cup (0, 6]$.