Вопросы?, страница 298 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 37. Сочетания - страница 298.

Условие.

1. Что называют сочетанием из $n$ элементов по $k$ элементов?

2. С помощью какой формулы можно найти количество всех возможных сочетаний из $n$ элементов по $k$ элементов?

Решение.

1. Что называют сочетанием из n элементов по k элементов?

Сочетанием из $n$ элементов по $k$ элементов (где $k \le n$) называется любое подмножество, состоящее из $k$ элементов, выбранных из данного множества, содержащего $n$ различных элементов. Важнейшей характеристикой сочетаний является то, что порядок выбора элементов не имеет значения. Таким образом, два подмножества считаются одинаковыми, если они состоят из одних и тех же элементов, независимо от того, в каком порядке эти элементы были выбраны или записаны.

Например, если у нас есть множество из трех букв {А, Б, В}, то сочетаниями из 3 элементов по 2 элемента будут следующие подмножества:

• {А, Б}
• {А, В}
• {Б, В}

Обратите внимание, что набор {Б, А} не является новым сочетанием, так как он состоит из тех же элементов, что и {А, Б}.

Ответ: Сочетанием из $n$ элементов по $k$ элементов называют любое подмножество из $k$ элементов, выбранных из данного множества, содержащего $n$ элементов, причём порядок выбора элементов не важен.

2. С помощью какой формулы можно найти количество всех возможных сочетаний из n элементов по k элементов?

Количество всех возможных сочетаний из $n$ элементов по $k$ элементов обозначается как $C_n^k$ (читается "це из эн по ка") и вычисляется по следующей формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В этой формуле:

• $n$ — общее число элементов в исходном множестве.
• $k$ — число элементов в каждой выбираемой группе (в каждом сочетании).
• $!$ — знак факториала. Факториал числа $n$ (обозначается $n!$) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно. Например, $4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$. По определению принимается, что $0! = 1$.

Эта формула также известна как биномиальный коэффициент.

Ответ: Количество всех возможных сочетаний из $n$ элементов по $k$ элементов можно найти с помощью формулы $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.