Номер 37.5, страница 298 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 37. Сочетания - номер 37.5, страница 298.
№37.5 (с. 298)
Условие. №37.5 (с. 298)
скриншот условия
 
                                                                                                                                        37.5. Решите в натуральных числах уравнение:
1) $C_x^2 = 153;$
2) $C_{x+2}^3 = 8(x+1);$
3) $C_x^{x-2} = 45;$
4) $3C_{2x}^{x+1} = 2C_{2x}^{x-1};$
5) $17C_{2x-1}^x = 9C_{2x}^{x-1}.$
Решение. №37.5 (с. 298)
1) $C_x^2 = 153$
Используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Для того, чтобы выражение $C_x^2$ имело смысл, $x$ должно быть натуральным числом и удовлетворять условию $x \ge 2$.
Распишем левую часть уравнения:
$C_x^2 = \frac{x!}{2!(x-2)!} = \frac{x(x-1)(x-2)!}{2 \cdot (x-2)!} = \frac{x(x-1)}{2}$
Подставим это в исходное уравнение:
$\frac{x(x-1)}{2} = 153$
$x(x-1) = 306$
$x^2 - x - 306 = 0$
Мы получили квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-306) = 1 + 1224 = 1225 = 35^2$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 35}{2} = \frac{36}{2} = 18$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 35}{2} = \frac{-34}{2} = -17$
По условию задачи, $x$ - натуральное число, поэтому корень $x_2 = -17$ не подходит. Проверяем корень $x_1 = 18$ на соответствие условию $x \ge 2$. Условие $18 \ge 2$ выполняется.
Ответ: 18
2) $C_{x+2}^3 = 8(x+1)$
Условия для существования $C_{x+2}^3$: $x+2 \ge 3$ и $x$ - натуральное число. Отсюда следует, что $x \ge 1$.
Расписываем левую часть уравнения по формуле числа сочетаний:
$C_{x+2}^3 = \frac{(x+2)!}{3!((x+2)-3)!} = \frac{(x+2)!}{6(x-1)!} = \frac{(x+2)(x+1)x(x-1)!}{6(x-1)!} = \frac{x(x+1)(x+2)}{6}$
Подставляем в уравнение:
$\frac{x(x+1)(x+2)}{6} = 8(x+1)$
Так как $x \ge 1$, то $x+1 \ne 0$. Можем разделить обе части уравнения на $x+1$:
$\frac{x(x+2)}{6} = 8$
$x(x+2) = 48$
$x^2 + 2x - 48 = 0$
Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения:
$x_1 = 6$, $x_2 = -8$
Так как $x$ - натуральное число, корень $x_2 = -8$ не является решением. Корень $x_1 = 6$ удовлетворяет условию $x \ge 1$.
Ответ: 6
3) $C_x^{x-2} = 45$
Условия существования: $x \ge x-2$ (что верно всегда) и $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$. Также $x$ - натуральное число.
Воспользуемся свойством симметрии числа сочетаний: $C_n^k = C_n^{n-k}$.
$C_x^{x-2} = C_x^{x-(x-2)} = C_x^2$
Уравнение принимает вид:
$C_x^2 = 45$
$\frac{x(x-1)}{2} = 45$
$x(x-1) = 90$
$x^2 - x - 90 = 0$
Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета:
$x_1 = 10$, $x_2 = -9$
Так как $x$ - натуральное число, подходит только $x_1 = 10$. Этот корень удовлетворяет условию $x \ge 2$.
Ответ: 10
4) $3C_{2x}^{x+1} = 2C_{2x+1}^{x-1}$
Определим область допустимых значений для $x$. $x$ - натуральное число.
Для $C_{2x}^{x+1}$: $2x \ge x+1 \implies x \ge 1$.
Для $C_{2x+1}^{x-1}$: $2x+1 \ge x-1 \implies x \ge -2$ и $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
Общее условие: $x \ge 1$.
Распишем обе части уравнения:
$3 \cdot \frac{(2x)!}{(x+1)!(2x - (x+1))!} = 2 \cdot \frac{(2x+1)!}{(x-1)!(2x+1 - (x-1))!}$
$3 \cdot \frac{(2x)!}{(x+1)!(x-1)!} = 2 \cdot \frac{(2x+1)!}{(x-1)!(x+2)!}$
Упростим факториалы: $(2x+1)! = (2x+1)(2x)!$ и $(x+2)! = (x+2)(x+1)!$.
$3 \cdot \frac{(2x)!}{(x+1)!(x-1)!} = 2 \cdot \frac{(2x+1)(2x)!}{(x-1)!(x+2)(x+1)!}$
Сократим общие множители в обеих частях (при $x \ge 1$ они не равны нулю): $(2x)!$, $(x+1)!$, $(x-1)!$.
$3 = 2 \cdot \frac{2x+1}{x+2}$
$3(x+2) = 2(2x+1)$
$3x + 6 = 4x + 2$
$4x - 3x = 6 - 2$
$x = 4$
Полученное значение $x=4$ является натуральным числом и удовлетворяет условию $x \ge 1$.
Ответ: 4
5) $17C_{2x-1}^{x} = 9C_{2x}^{x-1}$
Определим область допустимых значений для $x$. $x$ - натуральное число.
Для $C_{2x-1}^{x}$: $2x-1 \ge x \implies x \ge 1$.
Для $C_{2x}^{x-1}$: $2x \ge x-1 \implies x \ge -1$ и $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
Общее условие: $x \ge 1$.
Распишем обе части уравнения:
$17 \cdot \frac{(2x-1)!}{x!(2x-1-x)!} = 9 \cdot \frac{(2x)!}{(x-1)!(2x-(x-1))!}$
$17 \cdot \frac{(2x-1)!}{x!(x-1)!} = 9 \cdot \frac{(2x)!}{(x-1)!(x+1)!}$
Упростим факториалы: $(2x)! = 2x \cdot (2x-1)!$ и $(x+1)! = (x+1) \cdot x!$.
$17 \cdot \frac{(2x-1)!}{x!(x-1)!} = 9 \cdot \frac{2x \cdot (2x-1)!}{(x-1)!(x+1) \cdot x!}$
Сократим общие множители $(2x-1)!$, $x!$, $(x-1)!$:
$17 = 9 \cdot \frac{2x}{x+1}$
$17(x+1) = 18x$
$17x + 17 = 18x$
$18x - 17x = 17$
$x=17$
Полученное значение $x=17$ является натуральным числом и удовлетворяет условию $x \ge 1$.
Ответ: 17
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 37.5 расположенного на странице 298 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №37.5 (с. 298), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    