Номер 37.5, страница 298 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 37. Сочетания - номер 37.5, страница 298.

Условие.

37.5. Решите в натуральных числах уравнение:

1) $C_x^2 = 153;$

2) $C_{x+2}^3 = 8(x+1);$

3) $C_x^{x-2} = 45;$

4) $3C_{2x}^{x+1} = 2C_{2x}^{x-1};$

5) $17C_{2x-1}^x = 9C_{2x}^{x-1}.$

Решение.

1) $C_x^2 = 153$

Используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Для того, чтобы выражение $C_x^2$ имело смысл, $x$ должно быть натуральным числом и удовлетворять условию $x \ge 2$.

Распишем левую часть уравнения:

$C_x^2 = \frac{x!}{2!(x-2)!} = \frac{x(x-1)(x-2)!}{2 \cdot (x-2)!} = \frac{x(x-1)}{2}$

Подставим это в исходное уравнение:

$\frac{x(x-1)}{2} = 153$

$x(x-1) = 306$

$x^2 - x - 306 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-306) = 1 + 1224 = 1225 = 35^2$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 35}{2} = \frac{36}{2} = 18$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 35}{2} = \frac{-34}{2} = -17$

По условию задачи, $x$ - натуральное число, поэтому корень $x_2 = -17$ не подходит. Проверяем корень $x_1 = 18$ на соответствие условию $x \ge 2$. Условие $18 \ge 2$ выполняется.

Ответ: 18

2) $C_{x+2}^3 = 8(x+1)$

Условия для существования $C_{x+2}^3$: $x+2 \ge 3$ и $x$ - натуральное число. Отсюда следует, что $x \ge 1$.

Расписываем левую часть уравнения по формуле числа сочетаний:

$C_{x+2}^3 = \frac{(x+2)!}{3!((x+2)-3)!} = \frac{(x+2)!}{6(x-1)!} = \frac{(x+2)(x+1)x(x-1)!}{6(x-1)!} = \frac{x(x+1)(x+2)}{6}$

Подставляем в уравнение:

$\frac{x(x+1)(x+2)}{6} = 8(x+1)$

Так как $x \ge 1$, то $x+1 \ne 0$. Можем разделить обе части уравнения на $x+1$:

$\frac{x(x+2)}{6} = 8$

$x(x+2) = 48$

$x^2 + 2x - 48 = 0$

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения:

$x_1 = 6$, $x_2 = -8$

Так как $x$ - натуральное число, корень $x_2 = -8$ не является решением. Корень $x_1 = 6$ удовлетворяет условию $x \ge 1$.

Ответ: 6

3) $C_x^{x-2} = 45$

Условия существования: $x \ge x-2$ (что верно всегда) и $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$. Также $x$ - натуральное число.

Воспользуемся свойством симметрии числа сочетаний: $C_n^k = C_n^{n-k}$.

$C_x^{x-2} = C_x^{x-(x-2)} = C_x^2$

Уравнение принимает вид:

$C_x^2 = 45$

$\frac{x(x-1)}{2} = 45$

$x(x-1) = 90$

$x^2 - x - 90 = 0$

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета:

$x_1 = 10$, $x_2 = -9$

Так как $x$ - натуральное число, подходит только $x_1 = 10$. Этот корень удовлетворяет условию $x \ge 2$.

Ответ: 10

4) $3C_{2x}^{x+1} = 2C_{2x+1}^{x-1}$

Определим область допустимых значений для $x$. $x$ - натуральное число.

Для $C_{2x}^{x+1}$: $2x \ge x+1 \implies x \ge 1$.

Для $C_{2x+1}^{x-1}$: $2x+1 \ge x-1 \implies x \ge -2$ и $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

Общее условие: $x \ge 1$.

Распишем обе части уравнения:

$3 \cdot \frac{(2x)!}{(x+1)!(2x - (x+1))!} = 2 \cdot \frac{(2x+1)!}{(x-1)!(2x+1 - (x-1))!}$

$3 \cdot \frac{(2x)!}{(x+1)!(x-1)!} = 2 \cdot \frac{(2x+1)!}{(x-1)!(x+2)!}$

Упростим факториалы: $(2x+1)! = (2x+1)(2x)!$ и $(x+2)! = (x+2)(x+1)!$.

$3 \cdot \frac{(2x)!}{(x+1)!(x-1)!} = 2 \cdot \frac{(2x+1)(2x)!}{(x-1)!(x+2)(x+1)!}$

Сократим общие множители в обеих частях (при $x \ge 1$ они не равны нулю): $(2x)!$, $(x+1)!$, $(x-1)!$.

$3 = 2 \cdot \frac{2x+1}{x+2}$

$3(x+2) = 2(2x+1)$

$3x + 6 = 4x + 2$

$4x - 3x = 6 - 2$

$x = 4$

Полученное значение $x=4$ является натуральным числом и удовлетворяет условию $x \ge 1$.

Ответ: 4

5) $17C_{2x-1}^{x} = 9C_{2x}^{x-1}$

Определим область допустимых значений для $x$. $x$ - натуральное число.

Для $C_{2x-1}^{x}$: $2x-1 \ge x \implies x \ge 1$.

Для $C_{2x}^{x-1}$: $2x \ge x-1 \implies x \ge -1$ и $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

Общее условие: $x \ge 1$.

Распишем обе части уравнения:

$17 \cdot \frac{(2x-1)!}{x!(2x-1-x)!} = 9 \cdot \frac{(2x)!}{(x-1)!(2x-(x-1))!}$

$17 \cdot \frac{(2x-1)!}{x!(x-1)!} = 9 \cdot \frac{(2x)!}{(x-1)!(x+1)!}$

Упростим факториалы: $(2x)! = 2x \cdot (2x-1)!$ и $(x+1)! = (x+1) \cdot x!$.

$17 \cdot \frac{(2x-1)!}{x!(x-1)!} = 9 \cdot \frac{2x \cdot (2x-1)!}{(x-1)!(x+1) \cdot x!}$

Сократим общие множители $(2x-1)!$, $x!$, $(x-1)!$:

$17 = 9 \cdot \frac{2x}{x+1}$

$17(x+1) = 18x$

$17x + 17 = 18x$

$18x - 17x = 17$

$x=17$

Полученное значение $x=17$ является натуральным числом и удовлетворяет условию $x \ge 1$.

Ответ: 17