Номер 37.10, страница 298 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 37. Сочетания - номер 37.10, страница 298.

Условие.

37.10. Встретившись, 7 знакомых пожали друг другу руки. Сколько рукопожатий было сделано?

Решение.

Эта задача является классической задачей по комбинаторике. Нам нужно найти количество уникальных пар, которые можно составить из 7 человек для рукопожатия. Поскольку в каждом рукопожатии участвуют двое, и порядок, в котором они обмениваются рукопожатиями, не имеет значения, нам необходимо вычислить число сочетаний из 7 элементов по 2.

Пусть общее количество знакомых $n = 7$. Для каждого рукопожатия выбирается группа из $k = 2$ человек.

Формула для нахождения числа сочетаний из $n$ по $k$ имеет вид:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Подставим наши значения $n=7$ и $k=2$ в эту формулу:
$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2! \cdot 5!}$

Теперь вычислим значение, раскрыв факториалы:
$C_7^2 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = \frac{42}{2} = 21$

Есть и другой, более наглядный способ решения:

• Первый знакомый пожмет руку 6 остальным.
• Второй знакомый уже пожал руку первому, поэтому он пожмет руку 5 оставшимся.
• Третий пожмет руку 4 оставшимся.
• Четвертый — 3 оставшимся.
• Пятый — 2 оставшимся.
• Шестой — последнему, седьмому.
• Седьмой к этому моменту уже обменялся рукопожатиями со всеми.

Сложив все эти рукопожатия, получим общее количество:
$6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21$

Таким образом, всего было сделано 21 рукопожатие.

Ответ: 21.