Номер 37.17, страница 299 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 37. Сочетания - номер 37.17, страница 299.

Условие.

37.17. Для школьной лотереи подготовили 100 билетов, из которых 12 — выигрышные. Первый ученик наугад выбирает 10 билетов. Сколько существует вариантов, при которых он выберет ровно 3 выигрышных билета?

Решение.

Для решения этой задачи используется комбинаторный подход. Нам необходимо выбрать группу из 10 билетов, которая состоит из двух подгрупп: ровно 3 выигрышных билета и, следовательно, $10 - 3 = 7$ проигрышных билетов.

Всего имеется 100 билетов, из которых:

• 12 выигрышных
• $100 - 12 = 88$ проигрышных

Количество способов выбрать $k$ элементов из множества $n$ элементов без учета порядка определяется числом сочетаний, формула которого:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Сначала найдем количество способов выбрать 3 выигрышных билета из 12 имеющихся:

$C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 2 \times 11 \times 10 = 220$ способов.

Затем найдем количество способов выбрать 7 проигрышных билетов из 88 имеющихся:

$C_{88}^7 = \frac{88!}{7!(88-7)!} = \frac{88!}{7!81!} = \frac{88 \times 87 \times 86 \times 85 \times 84 \times 83 \times 82}{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 14 451 532 480$ способов.

Чтобы найти общее количество вариантов, при которых одновременно выполняются оба этих условия, необходимо перемножить количество способов для каждого выбора (согласно правилу произведения в комбинаторике):

$N = C_{12}^3 \times C_{88}^7 = 220 \times 14 451 532 480 = 3 179 337 145 600$

Ответ: $3 179 337 145 600$ вариантов.