Номер 37.16, страница 299 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 37. Сочетания - номер 37.16, страница 299.

Условие.

37.16. Среди 20 рабочих 7 штукатуров. Сколькими способами можно сформировать бригаду из 5 человек так, чтобы в ней было ровно 2 штукатура?

Решение.

По условию задачи, необходимо сформировать бригаду из 5 человек, в которой будет ровно 2 штукатура. Общее количество людей: 20 рабочих, из них 7 штукатуров.

Процесс формирования бригады можно разделить на два независимых этапа:

1. Выбор 2 штукатуров из 7 доступных.
2. Выбор оставшихся $5 - 2 = 3$ членов бригады из рабочих, которые не являются штукатурами.

Поскольку порядок выбора людей в бригаду не имеет значения, мы будем использовать формулу для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество выбираемых элементов.

1. Найдем количество способов выбрать 2 штукатуров из 7.

Здесь $n=7$, $k=2$.

$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6 \times 5!}{2 \times 1 \times 5!} = \frac{7 \times 6}{2} = 21$ способ.

2. Найдем количество способов выбрать 3 остальных рабочих.

Количество рабочих, не являющихся штукатурами, составляет $20 - 7 = 13$ человек. Нам нужно выбрать из них 3 человека.

Здесь $n=13$, $k=3$.

$C_{13}^3 = \frac{13!}{3!(13-3)!} = \frac{13!}{3!10!} = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10!}{3 \times 2 \times 1 \times 10!} = \frac{13 \times 12 \times 11}{6} = 13 \times 2 \times 11 = 286$ способов.

3. Найдем общее количество способов сформировать бригаду.

Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее число способов равно произведению числа способов на каждом этапе.

Общее количество способов = (способы выбрать штукатуров) × (способы выбрать остальных рабочих)

$N = C_7^2 \times C_{13}^3 = 21 \times 286 = 6006$.

Ответ: 6006.