Номер 37.19, страница 299 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 37. Сочетания - номер 37.19, страница 299.

Условие.

37.19. На прямой отметили 12 точек, а на параллельной ей прямой — 7 точек. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

Решение.

Для того чтобы три точки образовывали треугольник, они не должны лежать на одной прямой. В данной задаче у нас есть две параллельные прямые.

Пусть первая прямая — $L_1$, на ней 12 точек.

Пусть вторая прямая — $L_2$, на ней 7 точек.

Треугольник можно составить двумя способами:

1. Две вершины лежат на прямой $L_1$, а одна — на прямой $L_2$.

Количество способов выбрать 2 точки из 12 на прямой $L_1$ равно числу сочетаний из 12 по 2:

$C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = 6 \cdot 11 = 66$

Количество способов выбрать 1 точку из 7 на прямой $L_2$ равно:

$C_7^1 = \frac{7!}{1!(7-1)!} = 7$

Общее количество треугольников в этом случае равно произведению этих сочетаний:

$N_1 = C_{12}^2 \cdot C_7^1 = 66 \cdot 7 = 462$

2. Одна вершина лежит на прямой $L_1$, а две — на прямой $L_2$.

Количество способов выбрать 1 точку из 12 на прямой $L_1$ равно:

$C_{12}^1 = \frac{12!}{1!(12-1)!} = 12$

Количество способов выбрать 2 точки из 7 на прямой $L_2$ равно числу сочетаний из 7 по 2:

$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$

Общее количество треугольников в этом случае равно:

$N_2 = C_{12}^1 \cdot C_7^2 = 12 \cdot 21 = 252$

Итоговое количество треугольников

Чтобы найти общее количество возможных треугольников, нужно сложить количество треугольников, полученных в первом и втором случаях:

$N = N_1 + N_2 = 462 + 252 = 714$

Ответ: 714