Номер 37.26, страница 300 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 37. Сочетания - номер 37.26, страница 300.

Условие.

37.26. Сколькими способами можно распределить 12 спортсменов на 3 команды по 4 человека в каждой?

Решение.

37.26.

Для решения этой задачи необходимо использовать методы комбинаторики. Мы должны разбить группу из 12 спортсменов на 3 равные группы по 4 человека, причем сами группы (команды) неразличимы.

1. Сначала выберем 4 спортсмена для первой команды из 12. Порядок выбора не важен, поэтому используем формулу числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Число способов сформировать первую команду: $C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495$ способов.

2. После того как первая команда укомплектована, остается 8 спортсменов. Из них нужно выбрать 4 человека для второй команды.
Число способов сформировать вторую команду: $C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70$ способов.

3. Оставшиеся 4 спортсмена автоматически образуют третью команду. Есть только один способ это сделать.
Число способов сформировать третью команду: $C_4^4 = \frac{4!}{4!(4-4)!} = \frac{4!}{4!0!} = 1$ способ.

4. Если бы команды были различимы (например, имели бы названия или номера), то общее число способов их формирования было бы произведением числа способов для каждого шага: $N_{упорядоченные} = C_{12}^4 \cdot C_8^4 \cdot C_4^4 = 495 \cdot 70 \cdot 1 = 34650$.

5. Однако в условии задачи команды неразличимы. Это означает, что порядок, в котором мы создавали команды, не имеет значения. Например, разбиение спортсменов на команды (A, B, C) является тем же самым, что и разбиение на (B, A, C) или (C, B, A). Поскольку у нас 3 команды, существует $3!$ (три факториал) способов их переставить между собой.
$3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.
Мы посчитали каждый уникальный набор из трех команд $3!$ раз, поэтому полученный результат нужно разделить на $3!$.

Итоговое число способов: $N = \frac{C_{12}^4 \cdot C_8^4 \cdot C_4^4}{3!} = \frac{34650}{6} = 5775$.

Ответ: 5775