Номер 37.28, страница 300 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 37. Сочетания - номер 37.28, страница 300.

Условие.

37.28. На занятиях танцевального кружка присутствуют 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами из них можно выбрать четыре пары для танца?

Решение.

Для решения задачи необходимо найти общее количество способов, которыми можно выбрать 4 девушки, 4 юноши, а затем сформировать из них 4 танцевальные пары. Решение можно разбить на несколько последовательных этапов.

1. Выбор девушек.Необходимо выбрать 4 девушки из 12. Поскольку порядок, в котором мы выбираем девушек, не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Число способов выбрать 4 девушки из 12 равно:

$C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495$ способов.

2. Выбор юношей.Аналогично, необходимо выбрать 4 юноши из 15. Порядок выбора также не важен.

Число способов выбрать 4 юношей из 15 равно:

$C_{15}^4 = \frac{15!}{4!(15-4)!} = \frac{15!}{4!11!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1365$ способов.

3. Формирование пар.После того как выбраны 4 девушки и 4 юноши, нужно составить из них 4 пары. Возьмем одну из девушек, ей в пару можно выбрать любого из 4 юношей. Для второй девушки останется 3 варианта выбора партнера, для третьей — 2, и для последней — 1. Таким образом, количество способов сформировать пары из уже отобранных людей равно числу перестановок из 4 элементов:

$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ способа.

4. Нахождение общего числа способов.По правилу произведения в комбинаторике, чтобы найти общее число способов выбрать четыре пары, нужно перемножить число способов на каждом этапе.

Общее число способов $N$ равно:

$N = C_{12}^4 \times C_{15}^4 \times 4! = 495 \times 1365 \times 24 = 675675 \times 24 = 16216200$.

Ответ: 16 216 200.