Вопросы?, страница 303 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 38. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля - страница 303.

Условие.

1. Запишите формулу бинома Ньютона.

2. Опишите, как строится треугольник Паскаля.

Решение.

1. Запишите формулу бинома Ньютона.

Формула бинома Ньютона — это формула для разложения в многочлен любой целой неотрицательной степени двучлена $(a+b)^n$. Общий вид формулы следующий:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$

В развёрнутом виде эта формула выглядит так:

$(a+b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \dots + C_n^k a^{n-k}b^k + \dots + C_n^n b^n$

В этой формуле $C_n^k$ — это биномиальные коэффициенты, которые соответствуют числу сочетаний из $n$ по $k$ и вычисляются по формуле:

$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Здесь $n!$ (читается «эн факториал») — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$. По определению, $0! = 1$.

Ответ: Формула бинома Ньютона: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$, где биномиальные коэффициенты вычисляются как $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

2. Опишите, как строится треугольник Паскаля.

Треугольник Паскаля — это бесконечная числовая таблица треугольной формы, в которой находятся биномиальные коэффициенты. Он строится по очень простому рекуррентному правилу:

1. На вершине треугольника (в нулевой строке) и по его боковым сторонам стоят единицы.
2. Каждый элемент внутри треугольника равен сумме двух элементов, стоящих непосредственно над ним в предыдущей строке.

Процесс построения первых нескольких строк выглядит следующим образом:

Строка 0: 1
Строка 1: 1 1
Строка 2: 1 (1+1) 1 → 1 2 1
Строка 3: 1 (1+2) (2+1) 1 → 1 3 3 1
Строка 4: 1 (1+3) (3+3) (3+1) 1 → 1 4 6 4 1

Таким образом, $n$-я строка треугольника (нумерация строк начинается с нуля) содержит коэффициенты разложения бинома $(a+b)^n$, то есть числа $C_n^0, C_n^1, C_n^2, \dots, C_n^n$.

Ответ: Треугольник Паскаля начинается с единицы на вершине. Каждая следующая строка начинается и заканчивается единицами, а каждый внутренний элемент равен сумме двух чисел, расположенных над ним в предыдущей строке.