Номер 37.30, страница 300 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 37. Сочетания - номер 37.30, страница 300.

Условие.

37.30. Пять ящиков пронумерованы числами от 1 до 5. Сколькими способами можно разложить в эти ящики 17 одинаковых шаров так, чтобы ни один ящик не оказался пустым?

Решение.

Данная задача относится к классу комбинаторных задач на сочетания с повторениями, также известных как "задачи о шарах и перегородках".

Пусть $x_i$ — количество шаров в $i$-том ящике, где $i \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$. Поскольку общее число шаров равно 17, мы имеем уравнение: $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 17$

Условие, что ни один ящик не должен быть пустым, означает, что в каждом ящике должен находиться как минимум один шар. Математически это выражается так: $x_i \ge 1$ для всех $i$.

Чтобы решить задачу с этим ограничением, можно применить следующий метод. Сначала мы гарантированно выполним условие, положив по одному шару в каждый из пяти ящиков. Так как все шары одинаковы, сделать это можно единственным способом. После этого у нас останется $17 - 5 = 12$ шаров, которые нужно распределить по тем же пяти ящикам, но уже без каких-либо ограничений (то есть, любой ящик может получить 0 или более дополнительных шаров).

Теперь задача сводится к нахождению количества неотрицательных целых решений уравнения: $y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 = 12$ где $y_i$ — это количество шаров, добавленных в $i$-ый ящик сверх одного, уже положенного туда.

Число таких решений находится по формуле для сочетаний с повторениями. Количество способов разложить $n$ одинаковых предметов по $k$ различным ящикам равно: $C_{n+k-1}^{k-1} = \frac{(n+k-1)!}{n!(k-1)!}$

В нашем случае $n = 12$ (оставшиеся шары) и $k = 5$ (ящики). Подставляем значения в формулу: $C_{12+5-1}^{5-1} = C_{16}^{4}$

Вычисляем значение: $C_{16}^{4} = \frac{16!}{4!(16-4)!} = \frac{16!}{4!12!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{43680}{24} = 1820$

Расчет можно упростить, сократив дробь: $C_{16}^{4} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = ( \frac{16}{4 \cdot 2} ) \cdot ( \frac{15}{3} ) \cdot 14 \cdot 13 = 2 \cdot 5 \cdot 14 \cdot 13 = 10 \cdot 182 = 1820$

Таким образом, существует 1820 способов.

Ответ: 1820