Номер 38.2, страница 303 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 38. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля - номер 38.2, страница 303.

Условие.

38.2. Запишите формулу бинома Ньютона для $(a+b)^7$.

Решение.

38.2.

Формула бинома Ньютона для натуральной степени $n$ имеет общий вид:

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты, которые представляют собой число сочетаний из $n$ по $k$.

В данном случае необходимо записать формулу для $n=7$. Разложение будет состоять из $n+1 = 8$ слагаемых:

$(a + b)^7 = C_7^0 a^{7-0}b^0 + C_7^1 a^{7-1}b^1 + C_7^2 a^{7-2}b^2 + C_7^3 a^{7-3}b^3 + C_7^4 a^{7-4}b^4 + C_7^5 a^{7-5}b^5 + C_7^6 a^{7-6}b^6 + C_7^7 a^{7-7}b^7$

Вычислим значения биномиальных коэффициентов $C_7^k$:

• $C_7^0 = \frac{7!}{0!(7-0)!} = 1$
• $C_7^1 = \frac{7!}{1!(7-1)!} = \frac{7!}{6!} = 7$
• $C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$
• $C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$

Благодаря свойству симметрии биномиальных коэффициентов ($C_n^k = C_n^{n-k}$), мы можем найти остальные значения:

• $C_7^4 = C_7^{7-4} = C_7^3 = 35$
• $C_7^5 = C_7^{7-5} = C_7^2 = 21$
• $C_7^6 = C_7^{7-6} = C_7^1 = 7$
• $C_7^7 = C_7^{7-7} = C_7^0 = 1$

Теперь подставим вычисленные коэффициенты в формулу разложения:

$(a + b)^7 = 1 \cdot a^7 + 7 \cdot a^6b + 21 \cdot a^5b^2 + 35 \cdot a^4b^3 + 35 \cdot a^3b^4 + 21 \cdot a^2b^5 + 7 \cdot ab^6 + 1 \cdot b^7$

Упростив выражение, получим окончательную формулу:

$(a + b)^7 = a^7 + 7a^6b + 21a^5b^2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b^7$

Ответ: $(a + b)^7 = a^7 + 7a^6b + 21a^5b^2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b^7$