Номер 37.29, страница 300 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 37. Сочетания - номер 37.29, страница 300.

Условие.

37.29. Сколькими способами можно $m$ белых и $n$ чёрных шаров ($m \ge n$) разложить в ряд так, чтобы никакие два чёрных шара не лежали рядом?

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся комбинаторным подходом. Чтобы выполнить условие, согласно которому никакие два чёрных шара не должны лежать рядом, мы можем сначала расставить белые шары, а затем поместить чёрные шары в образовавшиеся промежутки.

1. Сначала расположим в ряд все $m$ белых шаров. Так как все белые шары идентичны, существует только один способ это сделать.

2. Ряд из $m$ белых шаров создаёт $m+1$ потенциальных мест (слотов), куда можно поместить чёрные шары. Эти места находятся перед первым белым шаром, между любыми двумя соседними белыми шарами и после последнего белого шара. Схематически это можно изобразить так (где Б — белый шар, а _ — возможное место для чёрного шара):
_ Б _ Б _ ... _ Б _

3. Чтобы никакие два чёрных шара не оказались рядом, каждый из $n$ чёрных шаров должен быть помещён в отдельный слот. Таким образом, задача сводится к выбору $n$ слотов из $m+1$ имеющихся.

4. Поскольку все чёрные шары также неразличимы между собой, порядок выбора этих слотов не имеет значения. Следовательно, искомое количество способов равно числу сочетаний из $m+1$ по $n$.

Число сочетаний из $k$ элементов по $n$ вычисляется по формуле:
$C_k^n = \binom{k}{n} = \frac{k!}{n!(k-n)!}$

В данном случае нам нужно выбрать $n$ мест из $k = m+1$ возможных. Подставляя эти значения в формулу, получаем:
$C_{m+1}^n = \binom{m+1}{n} = \frac{(m+1)!}{n!(m+1-n)!}$

Условие $m \ge n$ гарантирует, что количество мест для размещения ($m+1$) всегда больше, чем количество чёрных шаров ($n$), поэтому такое размещение всегда возможно.

Ответ: $C_{m+1}^n = \frac{(m+1)!}{n!(m+1-n)!}$