Номер 37.31, страница 300 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 37. Сочетания - номер 37.31, страница 300.

Условие.

37.31. Сколькими способами натуральное число $n$ можно представить в виде суммы $k$ натуральных слагаемых? Суммы, отличающиеся порядком следования слагаемых, будем считать разными.

Решение.

Данная задача заключается в нахождении количества упорядоченных наборов натуральных чисел $(x_1, x_2, \dots, x_k)$ таких, что их сумма равна $n$. Математически это можно записать в виде уравнения:

$x_1 + x_2 + \dots + x_k = n$

где каждое слагаемое $x_i$ является натуральным числом, то есть $x_i \ge 1$.

Для решения этой задачи воспользуемся комбинаторным методом, известным как "метод шаров и перегородок".

Представим число $n$ как совокупность из $n$ одинаковых единиц (шаров), выложенных в ряд:

$\underbrace{\bullet \ \bullet \ \dots \ \bullet}_{n \text{ шаров}}$

Чтобы разбить эти $n$ единиц на $k$ групп (слагаемых), нам нужно разместить между ними $k-1$ разделитель (перегородку). Поскольку каждое слагаемое должно быть натуральным числом (т.е. больше или равно 1), ни одна группа не может быть пустой. Это означает, что перегородки можно ставить только в промежутки между шарами.

Между $n$ шарами, стоящими в ряд, существует $n-1$ возможных мест для установки перегородок. Например:

$\bullet \ \bullet \underbrace{\mid}_{\text{перегородка}} \bullet \ \bullet \ \bullet \underbrace{\mid}_{\text{перегородка}} \bullet$

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы выбрать $k-1$ место для перегородок из $n-1$ возможного места. Количество способов сделать такой выбор определяется числом сочетаний из $n-1$ по $k-1$.

Число сочетаний из $m$ по $j$ вычисляется по формуле:

$C_{m}^{j} = \binom{m}{j} = \frac{m!}{j!(m-j)!}$

В нашем случае $m = n-1$ и $j = k-1$. Следовательно, искомое количество способов равно:

$C_{n-1}^{k-1}$

Следует отметить, что такое представление возможно только при условии $n \ge k$, так как сумма $k$ натуральных чисел не может быть меньше $k$. Если $n < k$, то $n-1 < k-1$, и по определению число сочетаний $C_{n-1}^{k-1}$ равно 0, что соответствует действительности — решений в таком случае нет.

Ответ: $C_{n-1}^{k-1}$