Номер 37.32, страница 300 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 37. Сочетания - номер 37.32, страница 300.

Условие.

37.32. При каких значениях параметра $a$ уравнение

$\frac{x^2 - 3ax + 2a^2 + a - 1}{x + 1} = 0$ имеет единственное решение?

Решение.

Данное уравнение равносильно системе:$\begin{cases}x^2 - 3ax + 2a^2 + a - 1 = 0 \\x + 1 \neq 0\end{cases}$

Уравнение будет иметь единственное решение в двух случаях:
1. Квадратное уравнение в числителе имеет один корень (дискриминант равен нулю), и этот корень не равен -1.
2. Квадратное уравнение в числителе имеет два различных корня, один из которых равен -1 (что делает знаменатель нулем), а другой корень отличен от -1.

Рассмотрим квадратное уравнение из числителя: $x^2 - 3ax + 2a^2 + a - 1 = 0$.
Найдем его дискриминант $D$:
$D = (-3a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a^2 + a - 1) = 9a^2 - 8a^2 - 4a + 4 = a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2$.

Корни этого уравнения:
$x = \frac{3a \pm \sqrt{(a-2)^2}}{2} = \frac{3a \pm (a-2)}{2}$.
Отсюда получаем два корня:
$x_1 = \frac{3a + (a-2)}{2} = \frac{4a-2}{2} = 2a-1$.
$x_2 = \frac{3a - (a-2)}{2} = \frac{2a+2}{2} = a+1$.

Теперь проанализируем оба случая.

Случай 1: Квадратное уравнение имеет единственный корень.
Это происходит, когда дискриминант равен нулю: $D = (a-2)^2 = 0$, что дает $a=2$.
При $a=2$ корень уравнения $x = 2(2)-1 = 3$.
Этот корень должен удовлетворять условию $x \neq -1$. Поскольку $3 \neq -1$, значение $a=2$ подходит.

Случай 2: Квадратное уравнение имеет два различных корня ($D > 0$, то есть $a \neq 2$), но один из них равен -1.
а) Пусть $x_1 = -1$.
$2a-1 = -1 \implies 2a=0 \implies a=0$.
При $a=0$ второй корень $x_2 = a+1 = 1$. Корни $x_1=-1$ и $x_2=1$ различны. Корень $x=-1$ не является решением исходного уравнения из-за знаменателя, поэтому остается единственное решение $x=1$. Следовательно, $a=0$ подходит.
б) Пусть $x_2 = -1$.
$a+1 = -1 \implies a=-2$.
При $a=-2$ второй корень $x_1 = 2a-1 = 2(-2)-1 = -5$. Корни $x_1=-5$ и $x_2=-1$ различны. Корень $x=-1$ отбрасывается, и остается единственное решение $x=-5$. Следовательно, $a=-2$ подходит.

Объединяя все найденные значения, получаем, что исходное уравнение имеет единственное решение при $a \in \{-2, 0, 2\}$.

Ответ: $a = -2; a = 0; a = 2$.