Номер 37.27, страница 300 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 37. Сочетания - номер 37.27, страница 300.

Условие.

37.27. У матери есть 9 разных конфет. Сколькими способами она может угостить своих троих детей так, чтобы каждому досталось по 3 конфеты?

Решение.

Для решения этой задачи мы будем использовать комбинаторные методы. Нам нужно распределить 9 различных конфет между тремя различными детьми, причем каждый ребенок должен получить ровно 3 конфеты.

Процесс распределения можно разбить на три последовательных шага:

1. Выбрать 3 конфеты для первого ребенка.
2. Выбрать 3 конфеты для второго ребенка из оставшихся.
3. Отдать последние 3 конфеты третьему ребенку.

1. Выбор конфет для первого ребенка.
Нужно выбрать 3 конфеты из 9 имеющихся. Поскольку все конфеты разные, а порядок, в котором ребенок их получает, не важен, мы используем формулу для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Количество способов выбрать 3 конфеты из 9:
$C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$ способа.

2. Выбор конфет для второго ребенка.
После того, как первый ребенок получил свои конфеты, осталось $9 - 3 = 6$ конфет. Теперь нужно выбрать 3 конфеты для второго ребенка из этих 6.

Количество способов выбрать 3 конфеты из 6:
$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ способов.

3. Выбор конфет для третьего ребенка.
После выбора конфет для первых двух детей осталось $6 - 3 = 3$ конфеты. Эти 3 конфеты и достанутся третьему ребенку. Существует только один способ отдать ему оставшиеся конфеты.

Количество способов выбрать 3 конфеты из 3:
$C_3^3 = \frac{3!}{3!(3-3)!} = \frac{3!}{3!0!} = 1$ способ.

Общее количество способов.
Чтобы найти общее число способов, нужно перемножить количество способов для каждого шага (согласно правилу произведения в комбинаторике):

Общее число способов = $C_9^3 \times C_6^3 \times C_3^3 = 84 \times 20 \times 1 = 1680$.

Задачу также можно решить, используя формулу для числа перестановок с повторениями (или мультиномиальный коэффициент), которая определяет количество способов разбить множество из 9 различных элементов на 3 упорядоченные группы по 3 элемента в каждой:

$N = \frac{9!}{3!3!3!} = \frac{362880}{6 \times 6 \times 6} = \frac{362880}{216} = 1680$.

Ответ: 1680