Номер 37.33, страница 300 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 37. Сочетания - номер 37.33, страница 300.

Условие.

37.33. Решите уравнение

$\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}} + \sqrt{x+10+6\sqrt{x+1}} = 6.$

Решение.

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под внутренним корнем $\sqrt{x+1}$ должно быть неотрицательным: $x + 1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$.

Далее рассмотрим выражения под внешними корнями. Заметим, что их можно представить в виде полных квадратов по формуле $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

Для первого выражения: $x + 2 + 2\sqrt{x + 1} = (x+1) + 2\sqrt{x+1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x+1}+1)^2$.

Для второго выражения: $x + 10 + 6\sqrt{x + 1} = (x+1) + 2\sqrt{x+1} \cdot 3 + 3^2 = (\sqrt{x+1}+3)^2$.

Так как квадраты действительных чисел всегда неотрицательны, эти выражения будут неотрицательны при всех $x$ из найденной области $x \ge -1$. Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \ge -1$.

Теперь преобразуем исходное уравнение, используя выделенные полные квадраты:

$\sqrt{(\sqrt{x + 1} + 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x + 1} + 3)^2} = 6$

Применим свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:

$|\sqrt{x + 1} + 1| + |\sqrt{x + 1} + 3| = 6$

Поскольку $\sqrt{x+1} \ge 0$ для всех $x$ из ОДЗ, то выражения в модулях $\sqrt{x + 1} + 1$ и $\sqrt{x + 1} + 3$ всегда положительны. Это позволяет опустить знаки модуля:

$(\sqrt{x + 1} + 1) + (\sqrt{x + 1} + 3) = 6$

Решим полученное уравнение:

$2\sqrt{x + 1} + 4 = 6$

$2\sqrt{x + 1} = 2$

$\sqrt{x + 1} = 1$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x + 1 = 1$

$x = 0$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=0$ ОДЗ ($x \ge -1$). Так как $0 \ge -1$, корень подходит.

Ответ: 0