Номер 38.3, страница 303 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 38. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля - номер 38.3, страница 303.

Условие.

38.3. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:

1) $(a + *)^4 = * + * + * + * + 16b^4;$

2) $(* + *)^5 = x^{10} + 10x^8 + * + * + * + *.$

Решение.

1) $(a + *)^4 = * + * + * + * + 16b^4$

Для решения этой задачи воспользуемся формулой бинома Ньютона для степени $n=4$:

$(X+Y)^4 = C_4^0 X^4 Y^0 + C_4^1 X^3 Y^1 + C_4^2 X^2 Y^2 + C_4^3 X^1 Y^3 + C_4^4 X^0 Y^4$

Биномиальные коэффициенты для $n=4$ (четвертая строка треугольника Паскаля) равны 1, 4, 6, 4, 1. Таким образом, формула принимает вид:

$(X+Y)^4 = X^4 + 4X^3Y + 6X^2Y^2 + 4XY^3 + Y^4$

В нашем случае, $(a + *)^4 = * + * + * + * + 16b^4$.
Первый член в скобках $X=a$.
Последний член разложения равен $16b^4$. Согласно формуле, последний член равен $Y^4$.
Следовательно, $Y^4 = 16b^4$. Отсюда находим $Y$ (будем рассматривать положительное значение):
$Y = \sqrt[4]{16b^4} = 2b$.
Таким образом, первая звёздочка (в скобках) — это $2b$. Исходное выражение: $(a + 2b)^4$.

Теперь раскроем скобки, подставляя $X=a$ и $Y=2b$ в формулу бинома, чтобы найти остальные неизвестные члены (звёздочки):

$(a + 2b)^4 = a^4 + 4a^3(2b) + 6a^2(2b)^2 + 4a(2b)^3 + (2b)^4$

Вычислим каждый член разложения:

• Первый член: $a^4$
• Второй член: $4a^3(2b) = 8a^3b$
• Третий член: $6a^2(4b^2) = 24a^2b^2$
• Четвертый член: $4a(8b^3) = 32ab^3$
• Пятый член: $16b^4$ (соответствует условию)

Заполняем пропуски в исходном тождестве:

$(a + 2b)^4 = a^4 + 8a^3b + 24a^2b^2 + 32ab^3 + 16b^4$

Ответ: $(a + 2b)^4 = a^4 + 8a^3b + 24a^2b^2 + 32ab^3 + 16b^4$.

2) $(* + *)^5 = x^{10} + 10x^8 + * + * + * + *$

Воспользуемся формулой бинома Ньютона для степени $n=5$:

$(X+Y)^5 = C_5^0 X^5 Y^0 + C_5^1 X^4 Y^1 + C_5^2 X^3 Y^2 + C_5^3 X^2 Y^3 + C_5^4 X^1 Y^4 + C_5^5 X^0 Y^5$

Биномиальные коэффициенты для $n=5$ (пятая строка треугольника Паскаля) равны 1, 5, 10, 10, 5, 1. Формула выглядит так:

$(X+Y)^5 = X^5 + 5X^4Y + 10X^3Y^2 + 10X^2Y^3 + 5XY^4 + Y^5$

В нашем случае, $(* + *)^5 = x^{10} + 10x^8 + * + * + * + *$.
Первый член разложения равен $x^{10}$. По формуле, он равен $X^5$.
$X^5 = x^{10}$. Отсюда находим $X$:
$X = \sqrt[5]{x^{10}} = (x^{10})^{1/5} = x^2$.
Второй член разложения равен $10x^8$. По формуле, он равен $5X^4Y$.
$5X^4Y = 10x^8$.
Подставим найденное значение $X=x^2$ в это равенство:
$5(x^2)^4Y = 10x^8$
$5x^8Y = 10x^8$
Отсюда находим $Y$:
$Y = \frac{10x^8}{5x^8} = 2$.
Таким образом, звёздочки в скобках — это $x^2$ и $2$. Исходное выражение: $(x^2 + 2)^5$.

Теперь раскроем скобки, подставляя $X=x^2$ и $Y=2$ в формулу бинома, чтобы найти остальные члены:

$(x^2 + 2)^5 = (x^2)^5 + 5(x^2)^4(2) + 10(x^2)^3(2)^2 + 10(x^2)^2(2)^3 + 5(x^2)(2)^4 + 2^5$

Вычислим каждый член разложения:

• Первый член: $(x^2)^5 = x^{10}$
• Второй член: $5(x^2)^4(2) = 10x^8$
• Третий член: $10(x^2)^3(2)^2 = 10x^6 \cdot 4 = 40x^6$
• Четвертый член: $10(x^2)^2(2)^3 = 10x^4 \cdot 8 = 80x^4$
• Пятый член: $5(x^2)(2)^4 = 5x^2 \cdot 16 = 80x^2$
• Шестой член: $2^5 = 32$

Заполняем пропуски в исходном тождестве:

$(x^2 + 2)^5 = x^{10} + 10x^8 + 40x^6 + 80x^4 + 80x^2 + 32$

Ответ: $(x^2 + 2)^5 = x^{10} + 10x^8 + 40x^6 + 80x^4 + 80x^2 + 32$.