Номер 38.9, страница 304 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 38. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля - номер 38.9, страница 304.

Условие.

38.9. Найдите отношение суммы чисел в 20-й строке треугольника Паскаля к сумме чисел в 19-й строке.

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством треугольника Паскаля, которое определяет сумму чисел в его строках.

Сумма чисел в $n$-й строке треугольника Паскаля (при нумерации строк, начиная с единицы) вычисляется по формуле:

$S_n = 2^{n-1}$

где $S_n$ — это сумма чисел в $n$-й строке.

Сначала найдем сумму чисел для 20-й строки. В этом случае $n=20$:

$S_{20} = 2^{20-1} = 2^{19}$

Теперь найдем сумму чисел для 19-й строки. В этом случае $n=19$:

$S_{19} = 2^{19-1} = 2^{18}$

Чтобы найти отношение суммы чисел в 20-й строке к сумме чисел в 19-й строке, необходимо разделить $S_{20}$ на $S_{19}$:

$\frac{S_{20}}{S_{19}} = \frac{2^{19}}{2^{18}}$

Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$, получаем:

$\frac{2^{19}}{2^{18}} = 2^{19-18} = 2^1 = 2$

Таким образом, искомое отношение равно 2. Это также следует из того факта, что сумма чисел в каждой следующей строке треугольника Паскаля в два раза больше суммы чисел в предыдущей.

Ответ: 2