Номер 38.13, страница 304 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 38. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля - номер 38.13, страница 304.

Условие.

38.13. Объясните, почему значения выражений $11^2$, $11^3$ похожи на строки треугольника Паскаля. Вычислите $11^4$.

Решение.

Объясните, почему значения выражений $11^2, 11^3$ похожи на строки треугольника Паскаля

Связь между степенями числа 11 и строками треугольника Паскаля объясняется с помощью формулы бинома Ньютона. Эта формула позволяет раскрыть скобки в выражении вида $(a+b)^n$:

$(a+b)^n = \binom{n}{0}a^n b^0 + \binom{n}{1}a^{n-1}b^1 + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + ... + \binom{n}{n}a^0 b^n$

Коэффициенты $\binom{n}{k}$ в этой формуле называются биномиальными коэффициентами, и они в точности соответствуют числам, стоящим в n-й строке треугольника Паскаля (нумерация строк начинается с нуля).

Представим число 11 в виде суммы $10+1$. Тогда степень числа 11 можно записать как $(10+1)^n$. Применим к этому выражению формулу бинома Ньютона, взяв $a=10$ и $b=1$.

1. Для $n=2$ (вторая строка треугольника Паскаля: 1, 2, 1):
$11^2 = (10+1)^2 = \binom{2}{0}10^2 \cdot 1^0 + \binom{2}{1}10^1 \cdot 1^1 + \binom{2}{2}10^0 \cdot 1^2$
$11^2 = 1 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 1 \cdot 1 = 100 + 20 + 1 = 121$.
Как мы видим, цифры результата (1, 2, 1) совпадают с числами из второй строки треугольника Паскаля.

2. Для $n=3$ (третья строка треугольника Паскаля: 1, 3, 3, 1):
$11^3 = (10+1)^3 = \binom{3}{0}10^3 \cdot 1^0 + \binom{3}{1}10^2 \cdot 1^1 + \binom{3}{2}10^1 \cdot 1^2 + \binom{3}{3}10^0 \cdot 1^3$
$11^3 = 1 \cdot 1000 + 3 \cdot 100 + 3 \cdot 10 + 1 \cdot 1 = 1000 + 300 + 30 + 1 = 1331$.
Здесь цифры результата (1, 3, 3, 1) также совпадают с числами из третьей строки треугольника Паскаля.

Это происходит потому, что каждый биномиальный коэффициент умножается на соответствующую степень десяти ($10^n, 10^{n-1}, ..., 10^0$), что фактически расставляет эти коэффициенты по разрядам в десятичной системе счисления. Пока коэффициенты являются однозначными числами (меньше 10), они напрямую формируют цифры результата.

Ответ: Значения выражений $11^n$ похожи на строки треугольника Паскаля, так как $11^n$ можно представить в виде $(10+1)^n$. При раскрытии этого выражения по формуле бинома Ньютона коэффициентами при степенях числа 10 являются числа из n-й строки треугольника Паскаля, которые и формируют цифры итогового числа (при условии, что эти коэффициенты однозначные).

Вычислите $11^4$

Для вычисления $11^4$ воспользуемся тем же подходом. Нам понадобится четвертая строка треугольника Паскаля, которая состоит из чисел 1, 4, 6, 4, 1. Это биномиальные коэффициенты для $n=4$.

Применим формулу бинома Ньютона для $11^4 = (10+1)^4$:

$11^4 = \binom{4}{0}10^4 + \binom{4}{1}10^3 + \binom{4}{2}10^2 + \binom{4}{3}10^1 + \binom{4}{4}10^0$

Подставим значения коэффициентов из четвертой строки треугольника Паскаля:

$11^4 = 1 \cdot 10^4 + 4 \cdot 10^3 + 6 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10^1 + 1 \cdot 1$

Произведем вычисления:

$11^4 = 10000 + 4000 + 600 + 40 + 1 = 14641$

Ответ: $11^4 = 14641$.