Номер 38.15, страница 304 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 38. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля - номер 38.15, страница 304.

Условие.

38.15. Найдите количество нулей в конце десятичной записи значения выражения $999^{1001} + 1$.

Решение.

Количество нулей в конце десятичной записи числа равно наибольшей степени 10, на которую это число делится. Поскольку $10 = 2 \cdot 5$, нам нужно найти, на какую максимальную степень 10 делится выражение $999^{1001} + 1$.

Воспользуемся формулой суммы нечетных степеней: $a^n + b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 - \dots + b^{n-1})$ для нечетного $n$.

В нашем случае $a = 999$, $b = 1$ и $n = 1001$, которое является нечетным числом. Применим формулу:

$999^{1001} + 1^{1001} = (999 + 1)(999^{1000} - 999^{999} \cdot 1 + 999^{998} \cdot 1^2 - \dots - 999^1 + 1^{1000})$

Упростим выражение:

$999^{1001} + 1 = 1000 \cdot (999^{1000} - 999^{999} + 999^{998} - \dots - 999 + 1)$

Первый множитель равен $1000 = 10^3$, что уже дает нам три нуля в конце числа. Теперь нам нужно определить, на какую степень 10 делится второй множитель.

Обозначим второй множитель как $S$:

$S = 999^{1000} - 999^{999} + 999^{998} - \dots - 999 + 1$

Чтобы узнать, делится ли $S$ на 10, найдем его последнюю цифру, то есть найдем остаток от деления $S$ на 10. Для этого воспользуемся сравнениями по модулю 10.

Число 999 оканчивается на 9, поэтому $999 \equiv -1 \pmod{10}$.

Тогда $S$ по модулю 10 будет равно:

$S \equiv (-1)^{1000} - (-1)^{999} + (-1)^{998} - \dots - (-1)^1 + (-1)^0 \pmod{10}$

$S \equiv 1 - (-1) + 1 - \dots - (-1) + 1 \pmod{10}$

$S \equiv 1 + 1 + 1 + \dots + 1 + 1 \pmod{10}$

Сумма состоит из слагаемых, соответствующих степеням от 0 до 1000. Общее количество слагаемых в $S$ равно $1000 - 0 + 1 = 1001$.

Таким образом, сумма состоит из 1001 единицы:

$S \equiv 1001 \pmod{10}$

$S \equiv 1 \pmod{10}$

Это означает, что последняя цифра числа $S$ равна 1. Следовательно, число $S$ не делится ни на 2, ни на 5, а значит, и на 10.

Таким образом, множитель $S$ не добавляет нулей в конце записи числа. Все нули определяются множителем 1000.

Итак, выражение $999^{1001} + 1$ равно $1000 \cdot S$, где $S$ - целое число, не делящееся на 10. Это означает, что десятичная запись числа $999^{1001} + 1$ оканчивается ровно на три нуля.

Ответ: 3