Номер 38.12, страница 304 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 38. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля - номер 38.12, страница 304.

Условие.

38.12. В выражении $(x^4 + \frac{1}{x})^n$ раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона. Известно, что шестой член разложения имеет вид $56x^7$. Найдите $n$.

Решение.

Для нахождения $n$ воспользуемся формулой бинома Ньютона. Общий член разложения бинома $(a+b)^n$ имеет вид: $T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент.

В данном выражении $(x^4 + \frac{1}{x})^n$ имеем $a = x^4$ и $b = \frac{1}{x} = x^{-1}$. Подставим эти значения в формулу общего члена: $T_{k+1} = C_n^k (x^4)^{n-k} (x^{-1})^k = C_n^k x^{4(n-k)} x^{-k} = C_n^k x^{4n-4k-k} = C_n^k x^{4n-5k}$.

По условию, шестой член разложения ($T_6$) равен $56x^7$. Для шестого члена порядковый номер $k+1 = 6$, откуда следует, что $k=5$. Подставим $k=5$ в формулу для общего члена: $T_6 = C_n^5 x^{4n-5 \cdot 5} = C_n^5 x^{4n-25}$.

Теперь приравняем полученное выражение для шестого члена и данное в условии: $C_n^5 x^{4n-25} = 56x^7$.

Для того чтобы это равенство было верным, должны быть равны как коэффициенты при $x$, так и показатели степени $x$. Это дает нам систему из двух уравнений:

1. $C_n^5 = 56$
2. $4n - 25 = 7$

Сначала решим второе, более простое уравнение: $4n = 7 + 25$ $4n = 32$ $n = 8$

Теперь проверим, удовлетворяет ли найденное значение $n=8$ первому уравнению. Вычислим $C_8^5$: $C_8^5 = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 8 \cdot 7 = 56$.

Поскольку $C_8^5 = 56$, оба уравнения выполняются. Таким образом, значение $n=8$ является решением задачи.

Ответ: $8$.