Номер 38.12, страница 304 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Поляков Виталий Михайлович, издательство Просвещение, Москва, 2014, розового цвета

Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.

Тип: Учебник

Серия: алгоритм успеха

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: углублённый

Цвет обложки: розовый

ISBN: 978-5-09-087881-4

Популярные ГДЗ в 8 классе

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 38. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля - номер 38.12, страница 304.

№38.12 (с. 304)
Условие. №38.12 (с. 304)
скриншот условия
Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Поляков Виталий Михайлович, издательство Просвещение, Москва, 2014, розового цвета, страница 304, номер 38.12, Условие

38.12. В выражении $(x^4 + \frac{1}{x})^n$ раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона. Известно, что шестой член разложения имеет вид $56x^7$. Найдите $n$.

Решение. №38.12 (с. 304)

Для нахождения $n$ воспользуемся формулой бинома Ньютона. Общий член разложения бинома $(a+b)^n$ имеет вид: $T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент.

В данном выражении $(x^4 + \frac{1}{x})^n$ имеем $a = x^4$ и $b = \frac{1}{x} = x^{-1}$. Подставим эти значения в формулу общего члена: $T_{k+1} = C_n^k (x^4)^{n-k} (x^{-1})^k = C_n^k x^{4(n-k)} x^{-k} = C_n^k x^{4n-4k-k} = C_n^k x^{4n-5k}$.

По условию, шестой член разложения ($T_6$) равен $56x^7$. Для шестого члена порядковый номер $k+1 = 6$, откуда следует, что $k=5$. Подставим $k=5$ в формулу для общего члена: $T_6 = C_n^5 x^{4n-5 \cdot 5} = C_n^5 x^{4n-25}$.

Теперь приравняем полученное выражение для шестого члена и данное в условии: $C_n^5 x^{4n-25} = 56x^7$.

Для того чтобы это равенство было верным, должны быть равны как коэффициенты при $x$, так и показатели степени $x$. Это дает нам систему из двух уравнений:

  1. $C_n^5 = 56$
  2. $4n - 25 = 7$

Сначала решим второе, более простое уравнение: $4n = 7 + 25$ $4n = 32$ $n = 8$

Теперь проверим, удовлетворяет ли найденное значение $n=8$ первому уравнению. Вычислим $C_8^5$: $C_8^5 = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 8 \cdot 7 = 56$.

Поскольку $C_8^5 = 56$, оба уравнения выполняются. Таким образом, значение $n=8$ является решением задачи.

Ответ: $8$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 38.12 расположенного на странице 304 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №38.12 (с. 304), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.