Номер 38.14, страница 304 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 38. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля - номер 38.14, страница 304.

Условие.

38.14. Найдите количество нулей в конце десятичной записи значения $1001^{1000} - 1$.

Решение.

Количество нулей в конце десятичной записи числа равно максимальной степени 10, на которую это число делится. Так как $10 = 2 \cdot 5$, нам нужно найти, на какую максимальную степень 10 делится выражение $1001^{1000} - 1$.

Для этого представим $1001$ как $1000 + 1$ и воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$(a+b)^n = C_{n}^{0} a^n b^0 + C_{n}^{1} a^{n-1} b^1 + C_{n}^{2} a^{n-2} b^2 + \dots + C_{n}^{n} a^0 b^n$

В нашем случае, положив $a=1$, $b=1000$ и $n=1000$, получаем:

$1001^{1000} = (1 + 1000)^{1000} = C_{1000}^{0} \cdot 1^{1000} \cdot 1000^0 + C_{1000}^{1} \cdot 1^{999} \cdot 1000^1 + C_{1000}^{2} \cdot 1^{998} \cdot 1000^2 + \dots + C_{1000}^{1000} \cdot 1^0 \cdot 1000^{1000}$

Так как $C_{1000}^{0} = 1$, разложение принимает вид:

$1001^{1000} = 1 + C_{1000}^{1} \cdot 1000 + C_{1000}^{2} \cdot 1000^2 + \dots + C_{1000}^{1000} \cdot 1000^{1000}$

Теперь вычтем 1 из этого выражения:

$1001^{1000} - 1 = (1 + C_{1000}^{1} \cdot 1000 + C_{1000}^{2} \cdot 1000^2 + \dots) - 1$

$1001^{1000} - 1 = C_{1000}^{1} \cdot 1000 + C_{1000}^{2} \cdot 1000^2 + C_{1000}^{3} \cdot 1000^3 + \dots$

Рассмотрим первые члены этой суммы:

Первый член: $C_{1000}^{1} \cdot 1000 = 1000 \cdot 1000 = 1000^2 = (10^3)^2 = 10^6$.

Второй член: $C_{1000}^{2} \cdot 1000^2 = \frac{1000 \cdot 999}{2} \cdot 1000^2 = 499500 \cdot 10^6$.

Третий член: $C_{1000}^{3} \cdot 1000^3 = \frac{1000 \cdot 999 \cdot 998}{6} \cdot 1000^3$.

Все последующие члены суммы содержат множитель $1000^k$ при $k \ge 3$, то есть они делятся на $1000^3 = 10^9$.

Вынесем $10^6$ за скобки в выражении для $1001^{1000} - 1$:

$1001^{1000} - 1 = 10^6 + 499500 \cdot 10^6 + C_{1000}^{3} \cdot 1000^3 + \dots$

$1001^{1000} - 1 = 10^6 \cdot (1 + 499500 + C_{1000}^{3} \cdot 1000 + \dots)$

Обозначим выражение в скобках как $S$:

$S = 1 + 499500 + C_{1000}^{3} \cdot 1000 + C_{1000}^{4} \cdot 1000^2 + \dots$

$S = 499501 + (\text{сумма членов, каждый из которых делится на 1000})$

Следовательно, число $S$ можно представить в виде $S = 499501 + 1000 \cdot K$ для некоторого целого числа $K$. Последняя цифра числа $S$ определяется последней цифрой числа 499501, то есть равна 1.

Поскольку число $S$ оканчивается на 1, оно не делится ни на 2, ни на 5, а значит, не делится на 10.

Таким образом, мы представили исходное выражение в виде $10^6 \cdot S$, где $S$ — целое число, не кратное 10. Это означает, что максимальная степень 10, на которую делится $1001^{1000} - 1$, равна 6.

Следовательно, десятичная запись этого числа оканчивается на 6 нулей.

Ответ: 6