Номер 38.10, страница 304 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 38. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля - номер 38.10, страница 304.

Условие.

38.10. Найдите отношение суммы чисел в 100-й строке треугольника Паскаля к сумме чисел в 200-й строке.

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством треугольника Паскаля, согласно которому сумма чисел в $n$-й строке (при нумерации строк, начиная с нулевой, то есть $n=0, 1, 2, \dots$) равна $2^n$.

Это свойство следует из формулы бинома Ньютона: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$, где $C_n^k$ — это биномиальные коэффициенты, которые и являются числами в $n$-й строке треугольника Паскаля. Если подставить в эту формулу $a=1$ и $b=1$, то мы получим сумму чисел в строке: $S_n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k = (1+1)^n = 2^n$.

Теперь найдем суммы чисел для 100-й и 200-й строк. Будем считать, что номер строки соответствует показателю степени $n$ в формуле $S_n = 2^n$. (Даже если бы мы считали, что 100-я строка соответствует $n=99$, а 200-я — $n=199$, конечный результат был бы таким же, поскольку нас интересует отношение, а разница в номерах строк осталась бы равной 100).

Сумма чисел в 100-й строке, обозначим ее $S_{100}$, равна:$S_{100} = 2^{100}$

Сумма чисел в 200-й строке, обозначим ее $S_{200}$, равна:$S_{200} = 2^{200}$

Требуется найти отношение суммы чисел в 100-й строке к сумме чисел в 200-й строке:$\frac{S_{100}}{S_{200}} = \frac{2^{100}}{2^{200}}$

Используя свойство деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$), получаем:$\frac{2^{100}}{2^{200}} = 2^{100-200} = 2^{-100}$

Это же значение можно представить в виде дроби: $\frac{1}{2^{100}}$.

Ответ: $\frac{1}{2^{100}}$