Номер 38.4, страница 303 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 38. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля - номер 38.4, страница 303.

Условие.

38.4. Вычислите сумму $3^n + C_n^1 3^{n-1}2^1 + C_n^2 3^{n-2}2^2 + \dots + C_n^{n-1} 3^1 2^{n-1} + 2^n$.

Решение.

Данная сумма представляет собой разложение бинома Ньютона.

Формула бинома Ньютона имеет вид:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + ... + C_n^{n-1} a^1 b^{n-1} + C_n^n a^0 b^n$.

Поскольку $C_n^0 = 1$ и $C_n^n = 1$, эту формулу можно записать так:

$(a+b)^n = a^n + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + ... + C_n^{n-1} a^1 b^{n-1} + b^n$.

Сравним выражение из условия задачи с формулой разложения бинома:

$3^n + C_n^1 3^{n-1} 2^1 + C_n^2 3^{n-2} 2^2 + ... + C_n^{n-1} 3^1 2^{n-1} + 2^n$.

Легко заметить, что данное выражение является разложением бинома $(a+b)^n$, где $a=3$ и $b=2$.

Следовательно, искомая сумма равна:

$(3+2)^n = 5^n$.

Ответ: $5^n$.