Номер 38.6, страница 304 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 38. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля - номер 38.6, страница 304.

Условие.

38.6. Вычислите сумму $2^{300} - C_{300}^1 2^{299} + C_{300}^2 2^{298} - C_{300}^3 2^{297} + \dots - C_{300}^{299} 2 + 1.$

Решение.

38.6.

Для вычисления данной суммы воспользуемся формулой бинома Ньютона, которая имеет вид:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \dots + C_n^n a^0 b^n$

Рассмотрим исходное выражение:

$S = 2^{300} - C_{300}^1 2^{299} + C_{300}^2 2^{298} - C_{300}^3 2^{297} + \dots - C_{300}^{299} 2 + 1$

Перепишем его, используя стандартные обозначения для биномиальных коэффициентов $C_n^0=1$ и $C_n^n=1$. В нашем случае $n=300$.

Первый член $2^{300}$ можно записать как $C_{300}^0 \cdot 2^{300}$.

Последний член $1$ можно записать как $C_{300}^{300} \cdot 1$, что то же самое, что и $C_{300}^{300} \cdot 2^0$.

Таким образом, сумма принимает вид:

$S = C_{300}^0 2^{300} - C_{300}^1 2^{299} + C_{300}^2 2^{298} - C_{300}^3 2^{297} + \dots - C_{300}^{299} 2^1 + C_{300}^{300} 2^0$

Чередующиеся знаки "плюс" и "минус" можно представить как степени числа $(-1)$. Выражение можно переписать следующим образом:

$S = C_{300}^0 2^{300}(-1)^0 + C_{300}^1 2^{299}(-1)^1 + C_{300}^2 2^{298}(-1)^2 + C_{300}^3 2^{297}(-1)^3 + \dots + C_{300}^{299} 2^1(-1)^{299} + C_{300}^{300} 2^0(-1)^{300}$

Сравнивая это выражение с формулой бинома Ньютона, мы видим, что оно является разложением $(a+b)^n$ при следующих значениях:

$n = 300$, $a = 2$, $b = -1$.

Следовательно, искомая сумма равна:

$S = (2 + (-1))^{300} = (2 - 1)^{300}$

Вычисляем результат:

$S = 1^{300} = 1$

Ответ: $1$