Номер 38.8, страница 304 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 38. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля - номер 38.8, страница 304.

Условие.

38.8. Докажите, что $1 + C^1_{100} 3 + C^2_{100} 3^2 + \dots + C^{99}_{100} 3^{99} + 3^{100} = 1 - C^1_{200} 3 + C^2_{200} 3^2 - \dots - C^{199}_{200} 3^{199} + 3^{200}$.

Решение.

Для доказательства данного тождества воспользуемся формулой бинома Ньютона: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} a^{n-k} b^k$.

Рассмотрим левую часть равенства (ЛЧ):

$1 + C_{100}^{1} \cdot 3 + C_{100}^{2} \cdot 3^2 + \dots + C_{100}^{99} \cdot 3^{99} + 3^{100}$

Заметим, что $1 = C_{100}^{0}$ и $3^{100} = C_{100}^{100} \cdot 3^{100}$. Тогда левую часть можно переписать в виде полной суммы:

$ЛЧ = C_{100}^{0} \cdot 3^0 + C_{100}^{1} \cdot 3^1 + C_{100}^{2} \cdot 3^2 + \dots + C_{100}^{100} \cdot 3^{100} = \sum_{k=0}^{100} C_{100}^{k} \cdot 3^k \cdot 1^{100-k}$

Это выражение является биномиальным разложением для $(1+3)^{100}$.

Следовательно, $ЛЧ = (1+3)^{100} = 4^{100} = (2^2)^{100} = 2^{200}$.

Теперь рассмотрим правую часть равенства (ПЧ):

$ПЧ = 1 - C_{200}^{1} \cdot 3 + C_{200}^{2} \cdot 3^2 - \dots - C_{200}^{199} \cdot 3^{199} + 3^{200}$

Аналогично, $1 = C_{200}^{0}$ и $3^{200} = C_{200}^{200} \cdot 3^{200}$. Правая часть представляет собой знакочередующуюся сумму:

$ПЧ = C_{200}^{0} \cdot 3^0 - C_{200}^{1} \cdot 3^1 + C_{200}^{2} \cdot 3^2 - \dots - C_{200}^{199} \cdot 3^{199} + C_{200}^{200} \cdot 3^{200} = \sum_{k=0}^{200} C_{200}^{k} \cdot (-3)^k \cdot 1^{200-k}$

Это выражение является биномиальным разложением для $(1+(-3))^{200}$ или $(1-3)^{200}$.

Следовательно, $ПЧ = (1-3)^{200} = (-2)^{200}$.

Так как 200 — четное число, то $(-2)^{200} = 2^{200}$.

Таким образом, мы получили, что левая и правая части исходного равенства равны одному и тому же числу: $ЛЧ = 2^{200}$ и $ПЧ = 2^{200}$.

Поскольку $ЛЧ = ПЧ$, тождество доказано.

Ответ: Равенство доказано, так как обе его части равны $2^{200}$.