Номер 38.11, страница 304 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 38. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля - номер 38.11, страница 304.

Условие.

38.11. При каком значении $n$ восьмой член разложения выражения $(\sqrt{x} + \frac{1}{x^2})^n$ по формуле бинома Ньютона не зависит от $x$?

Решение.

Общий член разложения бинома Ньютона $(a+b)^n$ имеет вид:

$T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$

В данном выражении $(\sqrt{x} + \frac{1}{x^2})^n$ имеем $a = \sqrt{x} = x^{1/2}$ и $b = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$.

Восьмой член разложения соответствует номеру $k+1 = 8$, откуда получаем $k=7$.

Подставим эти значения в формулу общего члена, чтобы найти восьмой член разложения $T_8$:

$T_8 = C_n^7 (\sqrt{x})^{n-7} \left(\frac{1}{x^2}\right)^7 = C_n^7 (x^{1/2})^{n-7} (x^{-2})^7$

Упростим часть выражения, содержащую переменную $x$, используя свойства степеней:

$(x^{1/2})^{n-7} (x^{-2})^7 = x^{\frac{n-7}{2}} \cdot x^{-14} = x^{\frac{n-7}{2} - 14}$

Таким образом, восьмой член разложения равен:

$T_8 = C_n^7 x^{\frac{n-7}{2} - 14}$

По условию задачи, этот член разложения не зависит от $x$. Это означает, что показатель степени при $x$ должен быть равен нулю.

Составим и решим уравнение:

$\frac{n-7}{2} - 14 = 0$

$\frac{n-7}{2} = 14$

$n - 7 = 2 \cdot 14$

$n - 7 = 28$

$n = 35$

Для существования восьмого члена ($k=7$) в разложении необходимо, чтобы степень бинома $n$ была не меньше $k$, то есть $n \ge 7$. Найденное значение $n=35$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: 35.