Номер 38.16, страница 304 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 38. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля - номер 38.16, страница 304.

Условие.

38.16. Вычислите суммы $A = C_{101}^1 + C_{101}^3 + C_{101}^5 + \dots + C_{101}^{101}$ и $B = C_{101}^0 + C_{101}^2 + C_{101}^4 + \dots + C_{101}^{100}$.

Решение.

Для вычисления данных сумм воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{n-k} y^k = C_n^0 x^n + C_n^1 x^{n-1} y + C_n^2 x^{n-2} y^2 + \dots + C_n^n y^n$

В нашей задаче $n = 101$.

Рассмотрим два частных случая этой формулы.

1. Пусть $x=1$ и $y=1$. Тогда:

$(1+1)^{101} = C_{101}^0 + C_{101}^1 + C_{101}^2 + C_{101}^3 + \dots + C_{101}^{101}$

$2^{101} = (C_{101}^0 + C_{101}^2 + C_{101}^4 + \dots + C_{101}^{100}) + (C_{101}^1 + C_{101}^3 + C_{101}^5 + \dots + C_{101}^{101})$

Заметим, что первая скобка — это сумма $B$, а вторая — сумма $A$. Таким образом, мы получаем первое уравнение:

$A + B = 2^{101}$

2. Пусть $x=1$ и $y=-1$. Тогда:

$(1-1)^{101} = C_{101}^0 - C_{101}^1 + C_{101}^2 - C_{101}^3 + \dots + C_{101}^{100} - C_{101}^{101}$

$0 = (C_{101}^0 + C_{101}^2 + C_{101}^4 + \dots + C_{101}^{100}) - (C_{101}^1 + C_{101}^3 + C_{101}^5 + \dots + C_{101}^{101})$

Это соответствует разности $B - A$. Таким образом, мы получаем второе уравнение:

$B - A = 0$, что означает $A = B$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} A + B = 2^{101} \\ A = B \end{cases}$

Подставим второе уравнение в первое:

$A + A = 2^{101} \implies 2A = 2^{101}$

$A = \frac{2^{101}}{2} = 2^{100}$

Поскольку $A=B$, то $B$ также равно $2^{100}$.

A

Сумма $A$ представляет собой сумму биномиальных коэффициентов с нечетными верхними индексами. Как показано в решении, $A = 2^{100}$.

Ответ: $2^{100}$

B

Сумма $B$ представляет собой сумму биномиальных коэффициентов с четными верхними индексами. Как показано в решении, $B = 2^{100}$.

Ответ: $2^{100}$