Номер 38.7, страница 304 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 38. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля - номер 38.7, страница 304.

Условие.

38.7. Докажите, что $1 + C_{100}^1 3 + C_{100}^2 3^2 + \dots + C_{100}^{99} 3^{99} + 3^{100} = 5^{100} - C_{100}^1 5^{99} + C_{100}^2 5^{98} - \dots - C_{100}^{99} 5 + 1.$

Решение.

Для доказательства данного тождества воспользуемся формулой бинома Ньютона. Мы покажем, что левая и правая части равенства представляют собой разложения биномов, которые приводят к одному и тому же значению.

Формула бинома Ньютона для $(a+b)^n$ имеет вид:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + \dots + C_n^n a^0 b^n$

Рассмотрим левую часть равенства (ЛЧ):

$ЛЧ = 1 + C_{100}^1 3 + C_{100}^2 3^2 + \dots + C_{100}^{99} 3^{99} + 3^{100}$

Перепишем это выражение, используя свойства биномиальных коэффициентов: $C_n^0 = 1$ и $C_n^n = 1$.

$ЛЧ = C_{100}^0 \cdot 1^{100} \cdot 3^0 + C_{100}^1 \cdot 1^{99} \cdot 3^1 + C_{100}^2 \cdot 1^{98} \cdot 3^2 + \dots + C_{100}^{99} \cdot 1^1 \cdot 3^{99} + C_{100}^{100} \cdot 1^0 \cdot 3^{100}$

Данная сумма в точности соответствует разложению бинома $(1+3)^{100}$ по формуле Ньютона, где $a=1$, $b=3$ и $n=100$.

Таким образом, $ЛЧ = (1+3)^{100} = 4^{100}$.

Теперь рассмотрим правую часть равенства (ПЧ):

$ПЧ = 5^{100} - C_{100}^1 5^{99} + C_{100}^2 5^{98} - \dots - C_{100}^{99} 5 + 1$

Формула бинома для разности $(a-b)^n$ выглядит так:

$(a-b)^n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k a^{n-k} b^k = C_n^0 a^n - C_n^1 a^{n-1} b + C_n^2 a^{n-2} b^2 - \dots + (-1)^n C_n^n b^n$

Перепишем правую часть, упорядочив слагаемые и используя свойства коэффициентов:

$ПЧ = C_{100}^0 5^{100} - C_{100}^1 5^{99} + C_{100}^2 5^{98} - \dots - C_{100}^{99} 5^1 + C_{100}^{100} 5^0$

Эта знакочередующаяся сумма является разложением бинома $(5-1)^{100}$, где $a=5$, $b=1$ и $n=100$.

Таким образом, $ПЧ = (5-1)^{100} = 4^{100}$.

Поскольку левая и правая части равенства равны одному и тому же значению, $ЛЧ = ПЧ = 4^{100}$, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано, так как обе части равны $4^{100}$.