Номер 38.5, страница 304 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 38. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля - номер 38.5, страница 304.

Условие.

38.5. Вычислите сумму $C_{100}^0 - C_{100}^1 + C_{100}^2 - C_{100}^3 + \dots + C_{100}^{100}$.

Решение.

Для вычисления данной суммы воспользуемся формулой бинома Ньютона, которая в общем виде записывается как:
$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}b^k = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1}b^1 + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \dots + C_n^n a^0 b^n$.
Рассмотрим сумму, данную в условии задачи:
$S = C_{100}^0 - C_{100}^1 + C_{100}^2 - C_{100}^3 + \dots + C_{100}^{100}$.
Это выражение представляет собой знакочередующийся ряд биномиальных коэффициентов. Мы можем переписать его, добавив множители, равные единице, чтобы привести его к виду бинома Ньютона:
$S = C_{100}^0 \cdot 1^{100} \cdot (-1)^0 + C_{100}^1 \cdot 1^{99} \cdot (-1)^1 + C_{100}^2 \cdot 1^{98} \cdot (-1)^2 + C_{100}^3 \cdot 1^{97} \cdot (-1)^3 + \dots + C_{100}^{100} \cdot 1^0 \cdot (-1)^{100}$.
Сравнивая полученное выражение с формулой бинома Ньютона, можно заметить, что оно является разложением для случая, когда $n=100$, $a=1$ и $b=-1$.
Таким образом, искомую сумму можно вычислить следующим образом:
$S = (1 + (-1))^{100} = (1-1)^{100} = 0^{100} = 0$.
Следовательно, значение суммы равно 0.
Ответ: $0$