Номер 38.1, страница 303 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 38. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля - номер 38.1, страница 303.

Условие.

38.1. Запишите формулу бинома Ньютона для $(a+b)^6$.

Решение.

38.1.

Формула бинома Ньютона для разложения степени двучлена $(a+b)^n$ имеет общий вид:

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$

где $n$ — натуральное число, а $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты.

В данном задании необходимо записать формулу для $n=6$. Разложение будет состоять из $n+1 = 7$ слагаемых.

Запишем формулу в развернутом виде, подставив $n=6$:

$(a + b)^6 = C_6^0 a^{6-0}b^0 + C_6^1 a^{6-1}b^1 + C_6^2 a^{6-2}b^2 + C_6^3 a^{6-3}b^3 + C_6^4 a^{6-4}b^4 + C_6^5 a^{6-5}b^5 + C_6^6 a^{6-6}b^6$

Упростив степени, получаем:

$(a + b)^6 = C_6^0 a^6 + C_6^1 a^5 b + C_6^2 a^4 b^2 + C_6^3 a^3 b^3 + C_6^4 a^2 b^4 + C_6^5 a b^5 + C_6^6 b^6$

Теперь вычислим значения биномиальных коэффициентов $C_6^k$ для $k$ от 0 до 6:

$C_6^0 = \frac{6!}{0!(6-0)!} = 1$

$C_6^1 = \frac{6!}{1!(6-1)!} = \frac{6!}{1!5!} = 6$

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$

$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$

Для нахождения оставшихся коэффициентов можно использовать свойство симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$:

$C_6^4 = C_6^{6-4} = C_6^2 = 15$

$C_6^5 = C_6^{6-5} = C_6^1 = 6$

$C_6^6 = C_6^{6-6} = C_6^0 = 1$

Подставим вычисленные коэффициенты в формулу разложения:

$(a + b)^6 = 1 \cdot a^6 + 6 \cdot a^5 b + 15 \cdot a^4 b^2 + 20 \cdot a^3 b^3 + 15 \cdot a^2 b^4 + 6 \cdot a b^5 + 1 \cdot b^6$

Таким образом, искомая формула имеет вид:

$(a + b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$

Ответ: $(a + b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$