Номер 37.23, страница 299 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 37. Сочетания - номер 37.23, страница 299.

Условие.

37.23. Для школьной лотереи подготовили 100 билетов, из которых 12 выигрышных. Первый ученик выбирает наугад 10 билетов. Сколько существует вариантов, при которых он выберет не менее 2 выигрышных билетов?

Решение.

Для решения этой задачи используется комбинаторный подход. Всего для лотереи подготовлено 100 билетов, из которых 12 выигрышных и, соответственно, $100 - 12 = 88$ проигрышных. Необходимо найти количество способов выбрать 10 билетов так, чтобы среди них было не менее 2 выигрышных.

Поскольку порядок выбора билетов не имеет значения, мы будем использовать формулу для числа сочетаний (комбинаций): $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество выбираемых элементов.

Условие "не менее 2 выигрышных билетов" означает, что количество выигрышных билетов в выборке может быть 2, 3, 4, ..., 10. Подсчитывать каждый из этих случаев и суммировать результаты долго. Гораздо проще использовать метод от противного (метод дополнения). Для этого найдем общее число способов выбрать 10 билетов из 100, а затем вычтем из него число "неблагоприятных" вариантов.

Неблагоприятными вариантами являются те, при которых выбрано менее 2 выигрышных билетов, то есть:

• 0 выигрышных билетов (и 10 проигрышных);
• 1 выигрышный билет (и 9 проигрышных).

Шаг 1: Найти общее число способов выбрать 10 билетов из 100.

Общее число вариантов выбора 10 билетов из 100 равно числу сочетаний из 100 по 10:

$N_{общ} = C_{100}^{10} = \frac{100!}{10!(100-10)!} = \frac{100!}{10!90!} = 17 \ 310 \ 309 \ 456 \ 440$

Шаг 2: Найти число вариантов с 0 выигрышных билетов.

Это означает, что нужно выбрать 0 билетов из 12 выигрышных и 10 билетов из 88 проигрышных.

$N_0 = C_{12}^0 \cdot C_{88}^{10} = 1 \cdot \frac{88!}{10!(88-10)!} = 1 \cdot 4 \ 431 \ 613 \ 550 \ 024 = 4 \ 431 \ 613 \ 550 \ 024$

Шаг 3: Найти число вариантов с 1 выигрышным билетом.

Это означает, что нужно выбрать 1 билет из 12 выигрышных и 9 билетов из 88 проигрышных.

$N_1 = C_{12}^1 \cdot C_{88}^9 = 12 \cdot \frac{88!}{9!(88-9)!} = 12 \cdot 561 \ 438 \ 829 \ 120 = 6 \ 737 \ 265 \ 949 \ 440$

Шаг 4: Найти общее число неблагоприятных вариантов.

Суммируем число вариантов с 0 и 1 выигрышным билетом:

$N_{небл} = N_0 + N_1 = 4 \ 431 \ 613 \ 550 \ 024 + 6 \ 737 \ 265 \ 949 \ 440 = 11 \ 168 \ 879 \ 499 \ 464$

Шаг 5: Найти искомое число вариантов.

Вычтем число неблагоприятных вариантов из общего числа вариантов:

$N = N_{общ} - N_{небл} = 17 \ 310 \ 309 \ 456 \ 440 - 11 \ 168 \ 879 \ 499 \ 464 = 6 \ 141 \ 429 \ 956 \ 976$

Ответ: $6 \ 141 \ 429 \ 956 \ 976$.