Номер 37.25, страница 299 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 37. Сочетания - номер 37.25, страница 299.

Условие.

37.25. В первые три вагона состава садится 12 пассажиров, по 4 человека в каждый вагон. Сколькими способами это можно сделать?

Решение.

Эта задача решается с помощью методов комбинаторики. Нам нужно распределить 12 различных пассажиров по трем различным вагонам так, чтобы в каждом вагоне оказалось по 4 человека. Решение можно представить как последовательный выбор пассажиров для каждого вагона.

1. Выбор пассажиров для первого вагона. Нужно выбрать 4 пассажира из 12. Поскольку порядок выбора пассажиров внутри вагона не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Количество способов выбрать 4 пассажира из 12: $C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495$ способов.

2. Выбор пассажиров для второго вагона. После того как 4 пассажира заняли места в первом вагоне, осталось $12 - 4 = 8$ пассажиров. Из этих 8 пассажиров нужно выбрать 4 для второго вагона. Количество способов сделать это: $C_{8}^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$ способов.

3. Выбор пассажиров для третьего вагона. Оставшиеся $8 - 4 = 4$ пассажира должны сесть в третий вагон. Существует только один способ выбрать 4 человек из 4 оставшихся: $C_{4}^4 = \frac{4!}{4!(4-4)!} = \frac{4!}{4!0!} = 1$ способ.

Чтобы найти общее число способов рассадки, необходимо перемножить число способов для каждого шага, так как выборы являются независимыми событиями: $N = C_{12}^4 \times C_{8}^4 \times C_{4}^4 = 495 \times 70 \times 1 = 34650$.

Этот результат также можно получить, используя формулу для числа упорядоченных разбиений (полиномиальный коэффициент), которая сразу дает число способов разбить 12 различных элементов на 3 упорядоченные группы по 4 элемента в каждой: $P(12; 4, 4, 4) = \frac{12!}{4!4!4!} = \frac{479001600}{24 \times 24 \times 24} = \frac{479001600}{13824} = 34650$.

Ответ: 34650