Номер 37.21, страница 299 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 37. Сочетания - номер 37.21, страница 299.

Условие.

37.21. Комиссия, состоящая из 15 человек, может начать работу, если на заседании есть кворум, т. е. присутствуют не менее 10 её членов. Сколько существует способов достичь кворума?

Решение.

По условию задачи, комиссия состоит из 15 человек, а кворум для начала работы достигается при присутствии не менее 10 членов. Это значит, что на заседании может быть 10, 11, 12, 13, 14 или 15 человек.

Задача сводится к нахождению общего числа способов выбрать группы из 10, 11, 12, 13, 14 и 15 человек из общего числа 15 членов комиссии. Поскольку порядок, в котором выбираются члены, не имеет значения, мы будем использовать формулу для числа сочетаний.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Общее число способов достичь кворума, обозначим его $N$, будет равно сумме числа способов для каждого возможного количества присутствующих:
$N = C_{15}^{10} + C_{15}^{11} + C_{15}^{12} + C_{15}^{13} + C_{15}^{14} + C_{15}^{15}$

Рассчитаем каждое слагаемое по отдельности. Для удобства вычислений воспользуемся свойством сочетаний $C_n^k = C_n^{n-k}$.

1. Число способов, которыми могут присутствовать 10 членов из 15:
$C_{15}^{10} = C_{15}^{15-10} = C_{15}^{5} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 3003$

2. Число способов, которыми могут присутствовать 11 членов из 15:
$C_{15}^{11} = C_{15}^{15-11} = C_{15}^{4} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1365$

3. Число способов, которыми могут присутствовать 12 членов из 15:
$C_{15}^{12} = C_{15}^{15-12} = C_{15}^{3} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 455$

4. Число способов, которыми могут присутствовать 13 членов из 15:
$C_{15}^{13} = C_{15}^{15-13} = C_{15}^{2} = \frac{15 \cdot 14}{2 \cdot 1} = 105$

5. Число способов, которыми могут присутствовать 14 членов из 15:
$C_{15}^{14} = C_{15}^{15-14} = C_{15}^{1} = 15$

6. Число способов, которыми могут присутствовать все 15 членов:
$C_{15}^{15} = 1$

Теперь просуммируем все найденные значения, чтобы определить общее число способов достичь кворума:
$N = 3003 + 1365 + 455 + 105 + 15 + 1 = 4944$

Ответ: 4944