Номер 37.15, страница 299 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 37. Сочетания - номер 37.15, страница 299.

Условие.

37.15. На прямой отметили 12 точек, а на параллельной ей прямой — 7 точек. Сколько существует четырёхугольников с вершинами в этих точках?

Решение.

Для того чтобы составить четырехугольник с вершинами в заданных точках, необходимо выбрать 4 точки. Важное условие для существования невырожденного четырехугольника — никакие три его вершины не должны лежать на одной прямой.

У нас есть две параллельные прямые. На первой — 12 точек, на второй — 7 точек. Все точки, лежащие на одной прямой, коллинеарны.

Рассмотрим, как можно выбрать 4 точки:

1. Если мы выберем 3 или 4 точки на одной прямой, то они будут лежать на одной линии, и составить четырехугольник будет невозможно. Например, выбор 3 точек с первой прямой и 1 со второй образует треугольник, а не четырехугольник.

2. Единственный способ получить четырехугольник — это выбрать 2 точки на одной прямой и 2 точки на другой. В этом случае никакие три точки не будут лежать на одной прямой, и они всегда будут образовывать вершины выпуклого четырехугольника (в данном случае — трапеции, так как основания будут лежать на параллельных прямых).

Следовательно, задача сводится к нахождению числа способов выбрать 2 точки из 12 на первой прямой и 2 точки из 7 на второй прямой.

Для нахождения числа сочетаний (способов выбора) используется формула: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество выбираемых элементов.

Число способов выбрать 2 точки из 12 на первой прямой:
$C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2!10!} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 6 \times 11 = 66$.

Число способов выбрать 2 точки из 7 на второй прямой:
$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 7 \times 3 = 21$.

По правилу произведения в комбинаторике, общее количество способов составить четырехугольник равно произведению числа способов выбора точек на каждой прямой:
$N = C_{12}^2 \times C_7^2 = 66 \times 21 = 1386$.

Ответ: 1386.