Номер 37.8, страница 298 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 37. Сочетания - номер 37.8, страница 298.

Условие.

37.8. На плоскости отметили 10 точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

Решение.

Для построения треугольника необходимо выбрать три точки, которые будут его вершинами. По условию задачи дано 10 точек, и никакие три из них не лежат на одной прямой. Это ключевое условие, так как оно гарантирует, что любой выбор трех точек из данного множества будет образовывать треугольник.

Следовательно, задача сводится к нахождению количества способов выбрать 3 точки из 10 имеющихся. Порядок выбора точек не имеет значения (треугольник с вершинами A, B, C — это тот же треугольник, что и с вершинами C, A, B), поэтому мы должны использовать формулу для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее количество точек $n = 10$, а для построения треугольника нам нужно выбрать $k = 3$ точки. Подставим эти значения в формулу:

$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!}$

Распишем факториалы для вычисления:

$C_{10}^3 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{ (3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1}$

Выполним сокращение и расчет:

$C_{10}^3 = \frac{10 \cdot (3 \cdot 3) \cdot (4 \cdot 2)}{3 \cdot 2} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$

Таким образом, из 10 точек можно образовать 120 различных треугольников.

Ответ: 120.