Номер 37.9, страница 298 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 37. Сочетания - номер 37.9, страница 298.

Условие.

37.9. Дан выпуклый $n$-угольник. Сколько существует четырёхугольников с вершинами, содержащимися среди вершин данного $n$-угольника?

Решение.

Чтобы построить четырёхугольник, необходимо выбрать 4 его вершины. По условию, эти вершины должны быть выбраны из вершин данного выпуклого n-угольника.

Так как исходный n-угольник является выпуклым, то любые 4 выбранные из его вершин также будут образовывать выпуклый четырёхугольник. Никакие три вершины не лежат на одной прямой.

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы посчитать, сколькими способами можно выбрать 4 вершины из $n$ имеющихся. Порядок выбора вершин не важен, так как набор из четырёх вершин однозначно определяет четырёхугольник.

Это является классической задачей комбинаторики на нахождение числа сочетаний. Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ (в нашем случае $k=4$) находится по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Подставляем $k=4$:

$C_n^4 = \frac{n!}{4!(n-4)!}$

Распишем факториалы для упрощения:

$C_n^4 = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3) \cdot (n-4)!}{4! \cdot (n-4)!} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!}$

Так как $4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$, получаем окончательную формулу:

$C_n^4 = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$

Эта формула справедлива при $n \ge 4$. Если вершин меньше четырёх ($n < 4$), то составить четырёхугольник невозможно, и количество способов равно 0.

Ответ: $\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$